《维度》系列的最后一集是一个预告片：Dimensions II ——它的内容不是后来出的《混沌》（chaos），而是《维度》制作者之一——数学家Étienne Ghys的最新研究成果。这些内容就更深奥了，我估计他们可能不会出这集了。我在《维度》另一个制作者Jos Leys的网站上找到了介绍预告片中出现的图形（即Étienne Ghys的最新研究成果）的文章：
这里是我做的格子空间4D在线查看器
（我一直很奇怪我画出的modular动力系统的轨道与判别式三叶结为什么会靠得很近，检查了很多遍代码都没找到原因）
大家感兴趣还想深入下去可以看一些关于椭圆函数、模形式的书，建议参阅潘承洞的《模形式导引》（网上有pdf，我前三章还能看懂，后面就看不懂了）
图片来自en.wikipedia：多重向量几何意义
# 本系列文讨论的是纯空间上的几何，但本文将要涉及的k-向量的某些性质在四维时空中也成立（只是度规不一样）。本文对数学能力要求较高：将出现大量数学公式。k-向量在除相对论（时空）以外的物理上也有用武之地，详见CFY的文章角速度、轴矢量、2-矢量从另一个角度——物理学引入k-向量。
该谈谈定量的四维空间计算问题了。它一方面可以检验我们几何直觉的正确性，不然我们的直觉只是在瞎猜而无证据；另一方面在编程计算四维图形中离不开计算。
#本文讨论的是纯空间上的几何，而不是物理上的时空！推荐视频《维度：数学漫步》对四维空间作初步了解
研究四维空间中的正多胞体的基本方法还是类比：所以你恐怕得先对我们三维中的正多面体有点了解（可参看Matrix67对正多面体的介绍）。
正多胞体一共有六个：单形（正五胞体）、超立方体（正八胞体）、正十六胞体、正二十四胞体、正一百二十胞体、正六百胞体。影片中只展现了它们的投影图（平行投影和球极投影）和一些基本几何信息，我们今天来看看它们具体是怎样构成的。其中除了正二十四胞体以外其他五种正多胞体我们都能找到三维类比——它们分别是正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
网站 www.software3d.com 上的120号模型 by Robert Webb
#本文讨论的是纯空间上的欧氏四维几何，而不是物理上的闵氏四维时空！（试想如果有二维生物，他们可能会认为三维是2维空间+时间，这就是三维时空，而不是我们的三维欧氏几何空间）本文不讨论把第4个方向当时间的情况！所以本文不会涉及物理相对论等内容。
图片来自en.wikipedia：By Vitaly Ostrosablin
