四维空间(十):扭结与环扣

我们这次来看一个有趣的话题:四维空间中的扭结。或许大家应该早就知道由于多了一个自由度,三维空间中所有的绳结都可以在四维空间被轻易地解开,所以扭结是三维空间特有产物,四维空间中不存在打结现象,全文完。

我当然不会这样结束这篇文章。虽然一维的曲线无法打结,但是二维的曲面(二维绳子?)却可以打结!我早就听说过四维扭结,但一直没找到具体例子。说克莱因瓶的其实是不对的:克莱因瓶是不定向曲面,如果上面有二维生物,那它们在瓶子上环游一周会发现自己被“镜像”了,而球面上不可能发生这种事,所以这两个东西本质就不相同(不同胚),好比圆环面和球面。

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四维世界(三):道路轨道设计

上篇文章介绍了四维世界中各式各样的车,它们都能随便在三维地面上行驶、转向。既然四维空间不用修红绿灯和立交桥了,是否意味着四维人的出行太方便了呢?是的,但四维交通还有一些小问题。我们知道三维空间中有双向行驶的道路,中间用隔离带或黄线隔开,大家都遵循靠右走;到了四维世界的双向道路,三维路面上的隔离带必须是二维的才能把道路分开,中间画一根线不再起作用了。最简单的双向道路恐怕就是下面这样了:

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四维空间(九):弯曲图形

Polytwister和四维螺旋形的截面、8,8-双锥形的球极投影

内容简介

我们将在这篇文章重点讲一些四维空间中的曲面(胞)图形。我们先从一些新的角度(加厚、放样)来深刻了解一些重要的在之前文章更多几何体中粗略介绍过的旋转体图形(附有常见旋转体列表!),然后我将介绍一些新的几何体:双圆锥、Polytwister和四维螺旋形。
<!-- 多图预警 -->

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四维世界(二):公路交通

这篇文章是参观四维国的延续。在那篇文章里,我提到了四维的城市交通不需要修立交桥,因为地面是三维的,两个方向的车流只需要走异面直线就对了。现在我们先研究一下四维国的公路到底是怎么样的,汽车怎么在上面开,以及三轮车、自行车在四维空间中的类比。研究四维的一般物体不能用球极投影,因为球极投影本质是研究超球面,我们要把正多胞体投到超球面上。所以我们从截面法和投影法入手。先看看三维的一条笔直的带街沿的路:
我们看到俯视图是最清晰的,除了看不出来街沿有高度。四维的道路呢?它的俯视图是立体的柱形,但底面该是正方形吗?或者圆形让路变成圆柱?

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四维世界(一):行星的昼夜季节

  我在以前的四维空间系列文章中描绘了一个四维星球上的世界。这次要研究的是四维星球自转公转产生的昼夜和季节变化。我们假设这个星球近似为超球,那么第一件要做的事就是怎样描述超球上的一点,这难不倒我们,因为类似球坐标系,我们可以用超球坐标系构造出类似经纬度的表示方法,只是超球表面是三维的,要三个度数表示。

  在说这个星球的旋转之前我先简单介绍一下四维空间中物体的旋转:它和三维空间最大的不同就是有“双旋转”。旋转其实是一种二维空间独有的效应:转动平面xOy,除了原点外的所点的轨迹都是xOy上面的圆。在三维空间中转动平面xOy,空间中点的轨迹在xOy面上的投影也是一个圆,但注意z轴上的点都没有动,这就是旋转轴。四维空间中转动平面xOy,空间中点的轨迹在xOy面上的投影也是一个圆,但注意zOw坐标面上的点都没有动,所以我们说四维空间旋转是绕着面转动的,你发现问题了没有?其实发生旋转的坐标都只是x、y,但我们却关心的是没参与旋转的部分,这才导致了旋转轴、平面等有不一致的维度。其实四维空间存在除了原点都在动的“双旋转”,这使得我们必须放弃关心没参与旋转的部分:如果一个旋转是xOy面和zOw面上同时旋转的结合,这就叫双旋转——这是可能的,因为两个平面是绝对垂直的,两个方向上的运动没有干扰,旋转速度也可以不一样。可以证明,四维空间中所有旋转要么是有不动旋转面的简单旋转,要么是除原点外所有点都在运动的双旋转,而每个双旋转又可以分解成两个绝对垂直的单旋转的复合。Hadroncfy的这篇文章详细介绍了双旋转中点的运动。

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我玩过的一些四维游戏

要想进一步体验四维空间的“感觉”,在电脑上做一个交互程序是再好不过的了。我曾经梦到玩像3dMax那样的4D复杂建模软件(可惜不存在)。这里我将整理我玩过的四维程序(不一定算游戏),并给一些主观评价。

最近游戏圈子里比较火的《Miegakure》,现在还在开发之中,游戏宣传片号称是史上第一款数学意义上真正的4D游戏,但展现给我们的方式是比较抽象的截面法,截面都是选垂直于地面的。游戏以四面体胞为基础对象进行渲染,就像3D图形学里的三角形一样。宣传片里不仅有常规的超长方体房屋墙壁,还有3D的地面贴图、12面体胞柱体和椎体的结合体,甚至四维树。可惜作者只在youtube上放了几个Demo,不知要多久才能开发完。
miegakure

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群论系列(二):数域的扩张

有了群的一些基础知识,下面我们就该来讨论n次方程的根的问题了。在具体讨论这个问题之前,我们还得引入一些新概念,这些概念很多已经不再局限于群,属于抽象代数的范围了。这篇文章的内容有点进阶了,但本文定位于让读者对伽罗瓦理论有一个感性的认识,所以一般性的结论和证明都尽量不讲,读者有兴趣可以参阅维基百科或抽象代数的书籍。

数域的扩张

我们先来看另一个类似群的代数结构——
简单来说,域就是定义了加减乘除四则运算的集合(群则只定义了乘法)。我们不给出严格的定义,这篇文章也只涉及数域,即上面的四则运算就是我们平时用的四则运算,而不是其他定义。

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群论系列(一):群论简介

为什么五次方程没有根式解?伽罗瓦用群论做了完美的回答。群论的历史和介绍我强烈推荐这篇文章《有限单群:一段百年征程》。
但我们具体需要哪些知识才能理解伽罗瓦的理论呢?一般大多数专业的工科生都没学过群论和抽象代数,我打算写一系列文章,希望从零基础开始解释这一切。我们的主线是理解伽罗瓦的理论,当然群的用处还很多,数理化都有应用,我会写一部分其他应用。

对称群S4的凯莱图

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