四维世界(一):行星的昼夜季节

  我在以前的四维空间系列文章中描绘了一个四维星球上的世界。这次要研究的是四维星球自转公转产生的昼夜和季节变化。我们假设这个星球近似为超球,那么第一件要做的事就是怎样描述超球上的一点,这难不倒我们,因为类似球坐标系,我们可以用超球坐标系构造出类似经纬度的表示方法,只是超球表面是三维的,要三个度数表示。

  在说这个星球的旋转之前我先简单介绍一下四维空间中物体的旋转:它和三维空间最大的不同就是有“双旋转”。旋转其实是一种二维空间独有的效应:转动平面xOy,除了原点外的所点的轨迹都是xOy上面的圆。在三维空间中转动平面xOy,空间中点的轨迹在xOy面上的投影也是一个圆,但注意z轴上的点都没有动,这就是旋转轴。四维空间中转动平面xOy,空间中点的轨迹在xOy面上的投影也是一个圆,但注意zOw坐标面上的点都没有动,所以我们说四维空间旋转是绕着面转动的,你发现问题了没有?其实发生旋转的坐标都只是x、y,但我们却关心的是没参与旋转的部分,这才导致了旋转轴、平面等有不一致的维度。其实四维空间存在除了原点都在动的“双旋转”,这使得我们必须放弃关心没参与旋转的部分:如果一个旋转是xOy面和zOw面上同时旋转的结合,这就叫双旋转——这是可能的,因为两个平面是绝对垂直的,两个方向上的运动没有干扰,旋转速度也可以不一样。可以证明,四维空间中所有旋转要么是有不动旋转面的简单旋转,要么是除原点外所有点都在运动的双旋转,而每个双旋转又可以分解成两个绝对垂直的单旋转的复合。Hadroncfy的这篇文章详细介绍了双旋转中点的运动。

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我玩过的一些四维游戏

要想进一步体验四维空间的“感觉”,在电脑上做一个交互程序是再好不过的了。我曾经梦到玩像3dMax那样的4D复杂建模软件(可惜不存在)。这里我将整理我玩过的四维程序(不一定算游戏),并给一些主观评价。

最近游戏圈子里比较火的《Miegakure》,现在还在开发之中,游戏宣传片号称是史上第一款数学意义上真正的4D游戏,但展现给我们的方式是比较抽象的截面法,截面都是选垂直于地面的。游戏以四面体胞为基础对象进行渲染,就像3D图形学里的三角形一样。宣传片里不仅有常规的超长方体房屋墙壁,还有3D的地面贴图、12面体胞柱体和椎体的结合体,甚至四维树。可惜作者只在youtube上放了几个Demo,不知要多久才能开发完。
miegakure

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群论系列(二):数域的扩张

有了群的一些基础知识,下面我们就该来讨论n次方程的根的问题了。在具体讨论这个问题之前,我们还得引入一些新概念,这些概念很多已经不再局限于群,属于抽象代数的范围了。这篇文章的内容有点进阶了,但本文定位于让读者对伽罗瓦理论有一个感性的认识,所以一般性的结论和证明都尽量不讲,读者有兴趣可以参阅维基百科或抽象代数的书籍。

数域的扩张

我们先来看另一个类似群的代数结构——
简单来说,域就是定义了加减乘除四则运算的集合(群则只定义了乘法)。我们不给出严格的定义,这篇文章也只涉及数域,即上面的四则运算就是我们平时用的四则运算,而不是其他定义。

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群论系列(一):群论简介

为什么五次方程没有根式解?伽罗瓦用群论做了完美的回答。群论的历史和介绍我强烈推荐这篇文章《有限单群:一段百年征程》。
但我们具体需要哪些知识才能理解伽罗瓦的理论呢?一般大多数专业的工科生都没学过群论和抽象代数,我打算写一系列文章,希望从零基础开始解释这一切。我们的主线是理解伽罗瓦的理论,当然群的用处还很多,数理化都有应用,我会写一部分其他应用。

对称群S4的凯莱图

目录

p范数空间中的旋转几何与物理运动

//注:本文于2020年8月大幅改动并加入了大量新内容!

不一样的距离公式

大家知道勾股定理是直角边两边的平方和等于第三边,这是一个不用怀疑的事实,也有各种方法证明勾股定理,其中最著名的莫过“无字证明”了:

但其实这个证明是有问题的,因为勾股定理是可以不成立的!大家应该听说过非欧几里得几何吧,我前面的[一篇文章]也讲过一种“双曲几何”。非欧几里得几何本来是从否定平行公设出发推出的一系列新的几何学,但它们的实质是度量不一样,即计算距离的公式不一样。我们熟知的计算两点间距离的公式:$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$也是从勾股定理中来的。如果现在我们“强行”把距离规定成$d=\sqrt[p]{|x_2-x_1|^p+|y_2-y_1|^p}$,即勾股定律变成两边p次方和等于斜边p次方——这种空间我们称为p-范数空间。有一个很棒的短篇科幻小说叫《勾股》,讲述了一个受虫洞影响导致勾股定理中的幂从2偏离到2.013的故事,虽然广义相对论已经能证明弯曲时空勾股定理的次方数还是2,但这并不妨碍它是一篇很好的脑洞很大的小说。如果真实存在这种空间会怎样呢?下面我们就来探究奇妙的p范数空间。

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墨卡托投影

  《维度数学漫步》第一集就讲的是用球极投影来绘制地图。但其实你我都知道,我们熟知的世界地图并不是用这种方法得到的,球极投影只用来绘制极地周围,世界地图用的另一种投影,它得到的地图也不是无限大的,而是矩形,这种投影就叫做墨卡托投影,它和球极投影一样,都是保角的。
墨卡托投影的大概做法就是先拿一个圆柱体使它的轴与地球自转轴重合,我们先把球面上的点投影到圆柱的侧面上,再把圆柱展开就得到长方形的地图了。但具体做法并不是保持z轴不变对应到圆柱上,也不是在球心放一盏灯直接投影到柱面上,为了保持保角性我们能计算出一个特殊的函数,叫古德曼函数,但北极点会投到无穷远,这样的地图是宽度有限、长度无限的,(柱面无限长)我们看到的世界地图把极地附近区域截掉了才得到有限的矩形地图。
来源:英语维基百科
  为什么我们取的圆柱的轴要恰好与地球自转轴重合呢?我们不妨选任意的角度,那将得到你从来没有见过的世界地图!

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趣题:五维立方体截面

本文分两部分,第一部分是关于五维立方体截面谜题,第二部分是对一类四维多胞体性质的探讨。我们要解决五维空间中的问题,但主要还是以四维空间中的讨论为主。

part 1

先来一道只涉及四维(不涉及五维)的题热热身吧:

我们知道,正方体可以被斜着截出正六边形截面,它与正方体所有面都相交;推广到四维,我们希望超立方体也可以被“斜着”截出一种截胞(胞指三维的“面”,下同),它与超立方体所有八个面(立方体胞)都相交,当然符合要求的“斜着”截的方法很多,我们要一种最“对称”的截法,即选垂直于体(最长)对角线的过超立方体体心的截面,这样能满足于所有面都相交的要求吗?会截出什么图形?如果截面不过超立方体体心,我们又可能得到哪些形状的截面?

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双曲空间——数学艺术

来自英文维基百科

《维度数学漫步》第二集截图

在前面讲解《维度数学漫步》的系列文章中,我曾经提到过影片中出现的一个圆盘图案,它是《维度数学漫步》第二集《三维空间》中的那个房间里的装饰。这一集的讲述者是埃舍尔(Escher),那个圆盘图案和那些蜥蜴都是他的作品。影片着重讲述的是那些二维蜥蜴的一只从他的画里面逃出来,它该如何向它的二维同伴们解释三维空间存在的故事。而那个作为装饰的圆盘图案只是一晃而过,其实这个图案和四维空间一样精彩:它就是双曲空间中的双曲镶嵌。
网上能搜到很多关于埃舍尔的这些画,但里面具体的数学内容却几乎没有提及到。下面我们就主要说说双曲镶嵌的数学含义,然后我们自己怎么来画一幅这样的画——用电脑画——在线演示在这里!(附双曲镶嵌版熊猫表情!),当然你足够NB也可以像埃舍尔那样手绘!

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