（** 23年9月更新：添加了4DGolf与4DMiner **）
要想进一步体验四维空间的“感觉”，在电脑上做一个交互程序是再好不过的了。我曾经梦到玩像3dMax那样的4D复杂建模软件（可惜不存在）。这里我将整理我玩过的四维程序（不一定算游戏），并给一些主观评价。
最近游戏圈子里比较火的《Miegakure》，现在还在开发之中，游戏宣传片号称是史上第一款数学意义上真正的4D游戏，但展现给我们的方式是比较抽象的截面法，截面都是选垂直于地面的。游戏以四面体胞为基础对象进行渲染，就像3D图形学里的三角形一样。宣传片里不仅有常规的超长方体房屋墙壁，还有3D的地面贴图、12面体胞柱体和椎体的结合体，甚至四维树。可惜作者只在youtube上放了几个Demo，不知要多久才能开发完。
//注：本文于2020年8月大幅改动并加入了大量新内容！
//注：本文于2023年1月修正了最后一小节关于引力轨道计算的错误并做了相应补充！
大家知道勾股定理是直角边两边的平方和等于第三边，这是一个不用怀疑的事实，也有各种方法证明勾股定理，其中最著名的莫过“无字证明”了：
但其实这个证明是有问题的，因为勾股定理是可以不成立的！大家应该听说过非欧几里得几何吧，我前面的一篇文章也讲过一种“双曲几何”。非欧几里得几何本来是从否定平行公设出发推出的一系列新的几何学，但它们的实质是度量不一样，即计算距离的公式不一样。我们熟知的计算两点间距离的公式：$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$也是从勾股定理中来的。如果现在我们“强行”把距离规定成$d=\sqrt[p]{|x_2-x_1|^p+|y_2-y_1|^p}$，即勾股定律变成两边p次方和等于斜边p次方——这种空间我们称为p-范数空间。有一个很棒的短篇科幻小说叫《勾股》，讲述了一个受虫洞影响导致勾股定理中的幂从2偏离到2.013的故事，虽然广义相对论已经能证明弯曲时空勾股定理的次方数还是2，但这并不妨碍它是一篇很好的脑洞很大的小说。如果真实存在这种空间会怎样呢？下面我们就来探究奇妙的p范数空间。
《维度数学漫步》第一集就讲的是用球极投影来绘制地图。但其实你我都知道，我们熟知的世界地图并不是用这种方法得到的，球极投影只用来绘制极地周围，世界地图用的另一种投影，它得到的地图也不是无限大的，而是矩形，这种投影就叫做墨卡托投影，它和球极投影一样，都是保角的。
墨卡托投影的大概做法就是先拿一个圆柱体使它的轴与地球自转轴重合，我们先把球面上的点投影到圆柱的侧面上，再把圆柱展开就得到长方形的地图了。但具体做法并不是保持z轴不变对应到圆柱上，也不是在球心放一盏灯直接投影到柱面上，为了保持保角性我们能计算出一个特殊的函数，叫古德曼函数，但北极点会投到无穷远，这样的地图是宽度有限、长度无限的，（柱面无限长）我们看到的世界地图把极地附近区域截掉了才得到有限的矩形地图。
为什么我们取的圆柱的轴要恰好与地球自转轴重合呢？我们不妨选任意的角度，那将得到你从来没有见过的世界地图！
本文分两部分，第一部分是关于五维立方体截面谜题，第二部分是对一类四维多胞体性质的探讨。我们要解决五维空间中的问题，但主要还是以四维空间中的讨论为主。
我们知道，正方体可以被斜着截出正六边形截面，它与正方体所有面都相交；推广到四维，我们希望超立方体也可以被“斜着”截出一种截胞（胞指三维的“面”，下同），它与超立方体所有八个面（立方体胞）都相交，当然符合要求的“斜着”截的方法很多，我们要一种最“对称”的截法，即选垂直于体（最长）对角线的过超立方体体心的截面，这样能满足于所有面都相交的要求吗？会截出什么图形？如果截面不过超立方体体心，我们又可能得到哪些形状的截面？
在前面讲解《维度数学漫步》的系列文章中，我曾经提到过影片中出现的一个圆盘图案，它是《维度数学漫步》第二集《三维空间》中的那个房间里的装饰。这一集的讲述者是埃舍尔（Escher），那个圆盘图案和那些蜥蜴都是他的作品。影片着重讲述的是那些二维蜥蜴的一只从他的画里面逃出来，它该如何向它的二维同伴们解释三维空间存在的故事。而那个作为装饰的圆盘图案只是一晃而过，其实这个图案和四维空间一样精彩：它就是双曲空间中的双曲镶嵌。
网上能搜到很多关于埃舍尔的这些画，但里面具体的数学内容却几乎没有提及到。下面我们就主要说说双曲镶嵌的数学含义，然后我们自己怎么来画一幅这样的画——用电脑画——在线演示在这里！(附双曲镶嵌版熊猫表情！)，当然你足够NB也可以像埃舍尔那样手绘！
