本文分两部分，第一部分是关于五维立方体截面谜题，第二部分是对一类四维多胞体性质的探讨。我们要解决五维空间中的问题，但主要还是以四维空间中的讨论为主。
我们知道，正方体可以被斜着截出正六边形截面，它与正方体所有面都相交；推广到四维，我们希望超立方体也可以被“斜着”截出一种截胞（胞指三维的“面”，下同），它与超立方体所有八个面（立方体胞）都相交，当然符合要求的“斜着”截的方法很多，我们要一种最“对称”的截法，即选垂直于体（最长）对角线的过超立方体体心的截面，这样能满足于所有面都相交的要求吗？会截出什么图形？如果截面不过超立方体体心，我们又可能得到哪些形状的截面？
在前面讲解《维度数学漫步》的系列文章中，我曾经提到过影片中出现的一个圆盘图案，它是《维度数学漫步》第二集《三维空间》中的那个房间里的装饰。这一集的讲述者是埃舍尔（Escher），那个圆盘图案和那些蜥蜴都是他的作品。影片着重讲述的是那些二维蜥蜴的一只从他的画里面逃出来，它该如何向它的二维同伴们解释三维空间存在的故事。而那个作为装饰的圆盘图案只是一晃而过，其实这个图案和四维空间一样精彩：它就是双曲空间中的双曲镶嵌。
网上能搜到很多关于埃舍尔的这些画，但里面具体的数学内容却几乎没有提及到。下面我们就主要说说双曲镶嵌的数学含义，然后我们自己怎么来画一幅这样的画——用电脑画——在线演示在这里！(附双曲镶嵌版熊猫表情！)，当然你足够NB也可以像埃舍尔那样手绘！
最近看到有人用Minecraft里面的红石电路制作出了计算器，还有一篇神文：《基于Minecraft实现的计算机工程》，视频在此，好像还能算浮点数、三角函数。我对红石不是太了解，那能不能用Hutton32做一个呢？经过不断尝试现在我的成果时能做出一个简单的加减法计算器和Ascii码显示阵列。
在大熊座方向，距地球几十光年处的M82雪茄星系边缘，有一个孤独的恒星系统。这个恒星系统中除了位于中心的恒星外，还有两颗绕着恒星公转的行星，一颗叫缺电子星球，是暗绿色的，另一颗叫富电子星球，是银白色的。它们的公转轨道几乎重合，甚至它们的公转周期也几乎相同，这就导致了它们公转时永远位于中心的恒星的两侧，永远无法“碰面”。
它们并不真正缺电子，因为它们都不带电，这两颗星球上的质子数是等于电子数的，然而组成它们的化学物质确有强烈的得失电子的欲望。这两颗星球还有个名字——氧化剂星球和还原剂星球。
这两个星球表面都有液态物质。缺电子星球表面被暗绿色的高锰酸酐的海洋所覆盖，大气中含有大量氟气和氧气、五氧化二氮、三氧化硫二氧化氖等气体。海洋中混有少量浓硫酸和$MnO_3^+$，海洋中零星分布着高锰酸钾、重铬酸钾岛屿，而海底则蕴含着高铁酸盐、高氯酸盐、超氧化物等矿物。而富电子星球则有着银色的钾钠合金的海洋，海洋中含少量铯、铷、钫、汞、镁、烷基钠、烷基锂，海底沉积着大量的钠块、单质铯、焦炭、氢化钠、四氢锂铝礁石，星球内部有着液态镁铝合金构成的内核，大气主要成分为氩气、“单质”铵和极少的氢气，硅烷、短链烃。
然而，一次偶然间，有一个大质量“光粒”（或“质量点”）从仙女座附近的椭圆星系M32方向以近似光速的速度飞过M82雪茄星系， 这个恒星系统中两颗行星的轨道受到了微弱影响，它们轨道周期发生了微小偏差而错位，轨道相位差减小，彼此慢慢靠近。终于在过了两千多万个时间颗粒后，两个星球进入了互相的引力范围，它们将在不到10个时间节点的时间内相撞！这是两颗星球无法改变的最后的宿命。
