群论系列(一):群论简介

为什么五次方程没有根式解?伽罗瓦用群论做了完美的回答。群论的历史和介绍我强烈推荐这篇文章《有限单群:一段百年征程》。
但我们具体需要哪些知识才能理解伽罗瓦的理论呢?一般大多数专业的工科生都没学过群论和抽象代数,我打算写一系列文章,希望从零基础开始解释这一切。我们的主线是理解伽罗瓦的理论,当然群的用处还很多,数理化都有应用,我会写一部分其他应用。

对称群S4的凯莱图

目录

p范数空间中的旋转几何

不一样的距离公式

大家知道勾股定理是直角边两边的平方和等于第三边,这是一个不用怀疑的事实,也有各种方法证明勾股定理,其中最著名的莫过“无字证明”了:

但其实这个证明是有问题的,因为勾股定理是可以不成立的!大家应该听说过非欧几里得几何吧,我前面的[一篇文章]也讲过一种“双曲几何”。非欧几里得几何本来是从否定平行公设出发推出的一系列新的几何学,但它们的实质是度量不一样,即计算距离的公式不一样。我们熟知的计算两点间距离的公式:$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$也是从勾股定理中来的。如果现在我们“强行”把距离规定成$d=\sqrt{|x_2-x_1|^p+|y_2-y_1|^p}$,即勾股定律变成两边p次方和等于斜边p次方——这种空间我们称为p-范数空间

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墨卡托投影

  《维度数学漫步》第一集就讲的是用球极投影来绘制地图。但其实你我都知道,我们熟知的世界地图并不是用这种方法得到的,球极投影只用来绘制极地周围,世界地图用的另一种投影,它得到的地图也不是无限大的,而是矩形,这种投影就叫做墨卡托投影,它和球极投影一样,都是保角的。
墨卡托投影的大概做法就是先拿一个圆柱体使它的轴与地球自转轴重合,我们先把球面上的点投影到圆柱的侧面上,再把圆柱展开就得到长方形的地图了。但具体做法并不是保持z轴不变对应到圆柱上,也不是在球心放一盏灯直接投影到柱面上,为了保持保角性我们能计算出一个特殊的函数,叫古德曼函数,但北极点会投到无穷远,这样的地图是宽度有限、长度无限的,(柱面无限长)我们看到的世界地图把极地附近区域截掉了才得到有限的矩形地图。
来源:英语维基百科
  为什么我们取的圆柱的轴要恰好与地球自转轴重合呢?我们不妨选任意的角度,那将得到你从来没有见过的世界地图!

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趣题:五维立方体截面

本文分两部分,第一部分是关于五维立方体截面谜题,第二部分是对一类四维多胞体性质的探讨。我们要解决五维空间中的问题,但主要还是以四维空间中的讨论为主。

part 1

先来一道只涉及四维(不涉及五维)的题热热身吧:

我们知道,正方体可以被斜着截出正六边形截面,它与正方体所有面都相交;推广到四维,我们希望超立方体也可以被“斜着”截出一种截胞(胞指三维的“面”,下同),它与超立方体所有八个面(立方体胞)都相交,当然符合要求的“斜着”截的方法很多,我们要一种最“对称”的截法,即选垂直于体(最长)对角线的过超立方体体心的截面,这样能满足于所有面都相交的要求吗?会截出什么图形?如果截面不过超立方体体心,我们又可能得到哪些形状的截面?

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双曲空间——数学艺术

来自英文维基百科

《维度数学漫步》第二集截图

在前面讲解《维度数学漫步》的系列文章中,我曾经提到过影片中出现的一个圆盘图案,它是《维度数学漫步》第二集《三维空间》中的那个房间里的装饰。这一集的讲述者是埃舍尔(Escher),那个圆盘图案和那些蜥蜴都是他的作品。影片着重讲述的是那些二维蜥蜴的一只从他的画里面逃出来,它该如何向它的二维同伴们解释三维空间存在的故事。而那个作为装饰的圆盘图案只是一晃而过,其实这个图案和四维空间一样精彩:它就是双曲空间中的双曲镶嵌。
网上能搜到很多关于埃舍尔的这些画,但里面具体的数学内容却几乎没有提及到。下面我们就主要说说双曲镶嵌的数学含义,然后我们自己怎么来画一幅这样的画——用电脑画——在线演示在这里!(附双曲镶嵌版熊猫表情!),当然你足够NB也可以像埃舍尔那样手绘!

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用Hutton32玩转数字电路(二):逻辑器件


上篇文章介绍了怎样在Hutton32中搭建与或非门,下面我们就用它们的组合来做一些有趣的事情吧。(比如一个完全平方数计算器!)

异或、同或门

A异或B就是不同为1,相同为0。逻辑表达式为 (A & ~B) | (~A & B)。但注意这里需要两个非门,而非门的体积大和延迟长,所以我们化简一下表达式得到只用一个非门实现异或:(A | B) & ~(A & B);同或也类似:~(A | B) | (A & B)。


有基本的逻辑门我们就能够制作各种组合逻辑、时序逻辑电路了!下面是我做的一些器件:

锁存器

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用Hutton32玩转数字电路(一):逻辑门


  最近看到有人用Minecraft里面的红石电路制作出了计算器,还有一篇神文:《基于Minecraft实现的计算机工程》,视频在此,好像还能算浮点数、三角函数。我对红石不是太了解,那能不能用Hutton32做一个呢?经过不断尝试现在我的成果时能做出一个简单的加减法计算器和Ascii码显示阵列。
加减法计算器 Ascii码显示阵

什么是Hutton32?

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缺电子星球Vs富电子星球

  在大熊座方向,距地球几十光年处的M82雪茄星系边缘,有一个孤独的恒星系统。这个恒星系统中除了位于中心的恒星外,还有两颗绕着恒星公转的行星,一颗叫缺电子星球,是暗绿色的,另一颗叫富电子星球,是银白色的。它们的公转轨道几乎重合,甚至它们的公转周期也几乎相同,这就导致了它们公转时永远位于中心的恒星的两侧,永远无法“碰面”。
它们并不真正缺电子,因为它们都不带电,这两颗星球上的质子数是等于电子数的,然而组成它们的化学物质确有强烈的得失电子的欲望。这两颗星球还有个名字——氧化剂星球和还原剂星球。
  这两个星球表面都有液态物质。缺电子星球表面被暗绿色的高锰酸酐的海洋所覆盖,大气中含有大量氟气和氧气、五氧化二氮、三氧化硫二氧化氖等气体。海洋中混有少量浓硫酸和$MnO_3^+$,海洋中零星分布着高锰酸钾、重铬酸钾岛屿,而海底则蕴含着高铁酸盐、高氯酸盐、超氧化物等矿物。而富电子星球则有着银色的钾钠合金的海洋,海洋中含少量铯、铷、钫、汞、镁、烷基钠、烷基锂,海底沉积着大量的钠块、单质铯、焦炭、氢化钠、四氢锂铝礁石,星球内部有着液态镁铝合金构成的内核,大气主要成分为氩气、“单质”铵和极少的氢气,硅烷、短链烃。
然而,一次偶然间,有一个大质量“光粒”(或“质量点”)从仙女座附近的椭圆星系M32方向以近似光速的速度飞过M82雪茄星系, 这个恒星系统中两颗行星的轨道受到了微弱影响,它们轨道周期发生了微小偏差而错位,轨道相位差减小,彼此慢慢靠近。终于在过了两千多万个时间颗粒后,两个星球进入了互相的引力范围,它们将在不到10个时间节点的时间内相撞!这是两颗星球无法改变的最后的宿命。

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