我们这次来看一个有趣的话题：四维空间中的扭结。或许大家应该早就知道由于多了一个自由度，三维空间中所有的绳结都可以在四维空间被轻易地解开，所以扭结是三维空间特有产物，四维空间中不存在打结现象，全文完。
我当然不会这样结束这篇文章。虽然一维的曲线无法打结，但是二维的曲面（二维绳子？）却可以打结！我早就听说过四维扭结，但一直没找到具体例子。说克莱因瓶的其实是不对的：克莱因瓶是不定向曲面，如果上面有二维生物，那它们在瓶子上环游一周会发现自己被“镜像”了，而球面上不可能发生这种事，所以这两个东西本质就不相同（不同胚），好比圆环面和球面。
上篇文章介绍了四维世界中各式各样的车，它们都能随便在三维地面上行驶、转向。既然四维空间不用修红绿灯和立交桥了，是否意味着四维人的出行太方便了呢？是的，但四维交通还有一些小问题。我们知道三维空间中有双向行驶的道路，中间用隔离带或黄线隔开，大家都遵循靠右走；到了四维世界的双向道路，三维路面上的隔离带必须是二维的才能把道路分开，中间画一根线不再起作用了。最简单的双向道路恐怕就是下面这样了：
这篇文章是参观四维国的延续。在那篇文章里，我提到了四维的城市交通不需要修立交桥，因为地面是三维的，两个方向的车流只需要走异面直线就对了。现在我们先研究一下四维国的公路到底是怎么样的，汽车怎么在上面开，以及三轮车、自行车在四维空间中的类比。研究四维的一般物体不能用球极投影，因为球极投影本质是研究超球面，我们要把正多胞体投到超球面上。所以我们从截面法和投影法入手。先看看三维的一条笔直的带街沿的路：
我们看到俯视图是最清晰的，除了看不出来街沿有高度。四维的道路呢？它的俯视图是立体的柱形，但底面该是正方形吗？或者圆形让路变成圆柱？
我在以前的四维空间系列文章中描绘了一个四维星球上的世界。这次要研究的是四维星球自转公转产生的昼夜和季节变化。我们假设这个星球近似为超球，那么第一件要做的事就是怎样描述超球上的一点，这难不倒我们，因为类似球坐标系，我们可以用超球坐标系构造出类似经纬度的表示方法，只是超球表面是三维的，要三个度数表示。
在说这个星球的旋转之前我先简单介绍一下四维空间中物体的旋转：它和三维空间最大的不同就是有“双旋转”。旋转其实是一种二维空间独有的效应：转动平面xOy，除了原点外的所点的轨迹都是xOy上面的圆。在三维空间中转动平面xOy，空间中点的轨迹在xOy面上的投影也是一个圆，但注意z轴上的点都没有动，这就是旋转轴。四维空间中转动平面xOy，空间中点的轨迹在xOy面上的投影也是一个圆，但注意zOw坐标面上的点都没有动，所以我们说四维空间旋转是绕着面转动的，你发现问题了没有？其实发生旋转的坐标都只是x、y，但我们却关心的是没参与旋转的部分，这才导致了旋转轴、平面等有不一致的维度。其实四维空间存在除了原点都在动的“双旋转”，这使得我们必须放弃关心没参与旋转的部分：如果一个旋转是xOy面和zOw面上同时旋转的结合，这就叫双旋转——这是可能的，因为两个平面是绝对垂直的，两个方向上的运动没有干扰，旋转速度也可以不一样。可以证明，四维空间中所有旋转要么是有不动旋转面的简单旋转,要么是除原点外所有点都在运动的双旋转，而每个双旋转又可以分解成两个绝对垂直的单旋转的复合。Hadroncfy的这篇文章详细介绍了双旋转中点的运动。
要想进一步体验四维空间的“感觉”，在电脑上做一个交互程序是再好不过的了。我曾经梦到玩像3dMax那样的4D复杂建模软件（可惜不存在）。这里我将整理我玩过的四维程序（不一定算游戏），并给一些主观评价。
最近游戏圈子里比较火的《Miegakure》，现在还在开发之中，游戏宣传片号称是史上第一款数学意义上真正的4D游戏，但展现给我们的方式是比较抽象的截面法，截面都是选垂直于地面的。游戏以四面体胞为基础对象进行渲染，就像3D图形学里的三角形一样。宣传片里不仅有常规的超长方体房屋墙壁，还有3D的地面贴图、12面体胞柱体和椎体的结合体，甚至四维树。可惜作者只在youtube上放了几个Demo，不知要多久才能开发完。
