p范数空间中的旋转几何

不一样的距离公式

大家知道勾股定理是直角边两边的平方和等于第三边,这是一个不用怀疑的事实,也有各种方法证明勾股定理,其中最著名的莫过“无字证明”了:

但其实这个证明是有问题的,因为勾股定理是可以不成立的!大家应该听说过非欧几里得几何吧,我前面的[一篇文章]也讲过一种“双曲几何”。非欧几里得几何本来是从否定平行公设出发推出的一系列新的几何学,但它们的实质是度量不一样,即计算距离的公式不一样。我们熟知的计算两点间距离的公式:$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$也是从勾股定理中来的。如果现在我们“强行”把距离规定成$d=\sqrt{|x_2-x_1|^p+|y_2-y_1|^p}$,即勾股定律变成两边p次方和等于斜边p次方——这种空间我们称为p-范数空间
各种各样的“圆”
首先是“圆”变了。圆的定义是平面上到定点等距的点的集合,距离定义变了图形就变了,圆周率(周长除以直径)也就变了(当然这里的“周长”要用新定义的距离公式计算)。其中这也是大多数介绍p-范数空间讲到的东西。如果p不等于2(比如p=3)那些世界会是怎样的呢?Matrix67大牛的这篇文章讲了p=1的世界的几何学,讨论了中垂线、外接圆等问题。但为什么我们的世界会选择p=2这个数字呢?

说到圆我们就要说旋转的概念。世界上最完美的图形就是圆。但现在我们不敢这样说了。在3范数(p=3)的世界里,曲线$|x|^3+|y|^3=1$才是“最完美的图形”,因为3范数的世界动点绕原点旋转的轨迹就是曲线$|x|^3+|y|^3=1$,所以3范数世界里的生物从各个方向看(转着看)这个图形都是一样的。这个解释听起来是很合理的,似乎说明我们必须适应这种看法,不要把2-范数世界放到特殊的位置,但我们会看到2-范数空间确实有些特殊性。

我们的世界里旋转可以用矩阵来表示,比如点(x,y)绕原点逆时针转$\theta$角到点(x’,y’):
$$\begin{pmatrix} x’ \\
y’
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
cos\theta & sin\theta \\
-sin\theta & cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
x cos\theta+y sin\theta \\
-x sin\theta+y cos\theta
\end{pmatrix}
$$
那么p范数下的旋转变换会长啥样?在研究p范数几何之前,我们先来看看另一种著名的几何:闵可夫斯基双曲空间。

闵可夫斯基空间

如果我们规定距离公式为$d^2=(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2$会怎样?首先这个世界的圆变成了双曲线,双曲线的周长是无限长的!(可用线积分计算出)这个世界的圆周率为正无穷,旋转也没有周期!诡异的事不止是这些,最诡异的是有时候长度变成了虚数!因为算距离时根号下可能为负。
这么糟糕的空间很难相信它的存在,但它就是时空!四维时空中的距离表达式为$d^2=x^2+y^2+z^2-t^2$
如果$x^2+y^2+z^2-t^2>0$这里的距离就是空间间隔,我们叫“类空的”;如果小于零我们就取绝对值再开方,得到时间间隔,我们叫“类时的”;还有一些根号下恰为0,我们叫类光的。闵可夫斯基四维时空是相对论的很好的数学模型,比如著名的洛伦兹变换可以写成像我们熟知的旋转矩阵一样:
$$\begin{pmatrix} x’ \\
t’
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
cosh\theta & -sinh\theta \\
-sinh\theta & cosh\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
t
\end{pmatrix}$$
其实洛伦兹变换就是四维闵可夫斯基空间中的旋转!而且这种变换不会改变向量的性质(避免了回到过去杀死你爷爷奶奶的这种悖论),即会把类空(时、光)的向量变成类空(时、光)的向量,也说明了我们只能无限接近光速(旋转没有周期性)。

广义三角函数

对双曲函数我们有$cosh^2\theta-sinh^2\theta=1$,那么我们假定p范数下也有三角函数$sin_p$和$cos_p$,满足$sin_p^p\theta+cos_p^p\theta=1$。对于双曲函数,$\theta$是“双曲角”——即单位双曲线对应的一段弧长,所以$sin_p$和$cos_p$函数的自变量也是一种弧长,我们能像三角函数一样在单位圆内定义它们。
让我们来看看这些奇怪的广义三角函数的图像:
p=1时的正弦、余弦、正切函数图像
p=无穷时的正弦、余弦、正切函数图像
它们都是分段函数,正余弦都有种方方的感觉,正切里的曲线段则是反比例函数。
要画出像p=0.5、3、4这种不特殊的情况我们得先找到公式计算$sin_p$和$cos_p$。
根据$sin_p$和$cos_p$函数的定义,我们能够算出它们满足的微分方程:$${d sin_p x\over d x}=(1-sin_p^p x)^{1-p\over p}=cos_p^{p-1} x \\ {d cos_p x\over d x}=-(1-cos_p^p x)^{1-p\over p}=-sin_p^{p-1} x \\ sin_p(0)=0、cos_p(0)=1$$
三角函数则是p=2时的特例。有了微分方程就能做数值计算了。而$sin_p$、$cos_p$的周期是p范数世界中圆的周长,所以自变量能取所有实数。
下一个问题自然就是这些函数能不能解析开拓到复平面上去呢?比如$sin(i) = i sinh 1 = 1.1752i$,这给我们一个启发:复数或许可以连接p范数世界中的三角函数和双曲函数。

p范数中的闵可夫斯基空间

我们不妨看看p范数中的单位双曲线$x^p-y^p=1$:

用同样的方法定义双曲函数$sinh_p$、$cosh_p$,类似地我们能得到微分方程$${d sinh_p x\over d x}=cosh_p^{p-1} x \\ {d cosh_p x\over d x}=sinh_p^{p-1} x \\ sin_p(0)=0、cos_p(0)=1$$
它们形式上只差一个符号。回想p=2时熟悉的三角函数与双曲函数关系的推导过程——通过欧拉公式$e^{i\theta}=cos \theta+i sin \theta$得到的,而欧拉公式又是通过泰勒级数展开得到的。我们可以在0处对$sin_p$做级数展开,我们就要知道$sin_p$在0处的各阶导数。p=2时即$sin$函数的导数很有规律,泰勒级数中没有偶次项,且奇次项正负交替。$sin_p$就不好展开了,它的各阶导数没规律,我们只能“硬算”:比如
$$(sin_3 x)’=cos_3^2 x\\
(sin_3 x)’’=(cos_3^2 x)’=-2cos_3 x sin_3^2 x\\
….
$$
这样我们能算出前几项级数:$sin_3 x = x-4{x^4 / 4!}+160{x^7 / 7!}-20800{x^{10} / 10!}+…$
我们发现只有(3n+1)次方项!可以通过数学归纳法证明$sin_p x$的级数展开只有(pn+1)次方项,且正负交替。这说明有$sin_p(\omega x)=\omega sin_p( x)$,其中$\omega^p=1$,类似有$cos_p(\omega x)=cos_p(x)$。

同样我们也能算出双曲函数$sinh_p x$的级数展开只也有(pn+1)次方项,且系数全为正,这些系数等于三角函数$sin_p x$对应系数的绝对值!有了这个发现我们就能算$sin_p(\omega x)=\omega sinh_p(x)$,其中$\omega^{2p}=1 且 \omega^p=-1$。复数确实把三角函数与双曲函数联系在了一起

费马曲线

对于p=3,我们有$sin_3(\omega x)=\omega sinh_3(x)$,取$\omega=-1$得到$sin_3(-x)=-sinh_3(x)$。按理说正弦函数该是奇函数的,但从泰勒级数看出它不是奇函数。原因就在于我们研究的是曲线$|x|^3+|y|^3=1$,绝对值导致了分段函数,$sin_3(-x)=-sinh_3(x)$其实是不成立的,既然都是分段函数了,更不能谈复平面解析开拓了。如果我们放弃绝对值,研究曲线$x^3+y^3=1$(下图红色)则马上就能明白双曲函数和三角函数为什么会一起出现了:他在第一象限对应圆,在二四象限对应双曲线。

放弃绝对值以后$sin_3 x$、$cos_3 x$叫做Dixon椭圆函数,记作sm(x)和cm(x),椭圆函数是一类很神奇的拥有二维周期的复变函数,它在实数上的周期并不是圆的周长,而是周长3/2倍,具体解释可以参考维基百科这篇论文
但对于p为偶数的情况$sin_p x$、$cos_p x$确实是周期的(周期为圆周长),但解析开拓却是多值的,这些函数被称为广义Dixon椭圆函数。
p=4时的正弦函数是一个多值函数,色相代表幅角,亮度代表模长(黑色代表零点)

旋转对称性

回到几何上来,我们猜想p范数下也有类似的旋转矩阵:$$\begin{pmatrix}
cos_p\theta & sin_p\theta \\
-sin_p\theta & cos_p\theta
\end{pmatrix}$$

但不幸的是可以验证这样的矩阵变换不能保持长度不变,更进一步我们可以验证这种变换至少不是线性的,比如线段PQ旋转到P’Q’:(转了1/8个圆周)然而PQ的长度为$2^{1\over p}$,P’Q’的长度为$2^{p-1\over p}$,我们发现只有p=2时它们长度才相等。但这也不能说旋转是不可能的。事实上线段旋转完后不一定是线段,比如PQ的中点会旋转到P’Q’偏下的位置。但从等距同构群(即所有能保持图形中所有点距离不变的变换)的角度看这个世界已经不能旋转了(没有旋转对称性),等距同构群只有平移、反射变换。但这不妨碍我们定义一种广义的“旋转”——逆时针绕原点转$\alpha$角:
$$
r=\sqrt[p]{|x|^p+|y|^p} \\
\theta=atan2_p(y,x)\\
x’=r cos_p(\theta+\alpha) \\
y’=r sin_p(\theta+\alpha)
$$
其中$atan2_p$类似于$atan2$函数:表示向量$(x,y)$与x轴正向的夹角。

比如下面是p=3时的旋转:

我们看到它不是线性的,且“圆”在旋转下不变,确实是最完美的图形。(我们世界的蓝色圆在这个世界中会变形,并不完美)
下面这个动画(取的p=3的世界)能反映这个旋转“不好”的性质:我们先把一个图形平移一段距离,再绕原点顺时针旋转一定角度$\alpha$,再平移回原点,逆时针转回来角$\alpha$,这个图形的形状按理说不该变,但这个旋转会让图形变形。
p=2——我们的世界 p=3的世界
以下是角度$\alpha$不断变化得到的一系列变形的结果:

这种变形周期为$\pi_3/2$($\pi_3$,是p=3世界中的圆周率),且沿平移方向直线上的点没动。所以这个世界中物体都不能转动,只能平移,因为试图转动会改变某些点间的距离,这个世界中的生物会认为旋转是一件不可思议的事。