我在以前的四维空间系列文章中描绘了一个四维星球上的世界。这次要研究的是四维星球自转公转产生的昼夜和季节变化。我们假设这个星球近似为超球，那么第一件要做的事就是怎样描述超球上的一点，这难不倒我们，因为类似球坐标系，我们可以用超球坐标系构造出类似经纬度的表示方法，只是超球表面是三维的，要三个度数表示。
在说这个星球的旋转之前我先简单介绍一下四维空间中物体的旋转：它和三维空间最大的不同就是有“双旋转”。旋转其实是一种二维空间独有的效应：转动平面xy，除了原点外的所点的轨迹都是xy上面的圆。在三维空间中转动平面xy，空间中点的轨迹在xy面上的投影也是一个圆，但注意z轴上的点都没有动，这就是旋转轴。四维空间中转动平面xy，空间中点的轨迹在xy面上的投影也是一个圆，但注意zw坐标面上的点都没有动，所以我们说四维空间旋转是绕着面转动的，你发现问题了没有？其实发生旋转的坐标都只是x、y，但我们却关心的是没参与旋转的部分，这才导致了旋转轴、平面等有不一致的维度。其实四维空间存在除了原点都在动的“双旋转”，这使得我们必须放弃关心没参与旋转的部分：如果一个旋转是xy面和zw面上同时旋转的结合，这就叫双旋转——这是可能的，因为两个平面是绝对垂直的，两个方向上的运动没有干扰，旋转速度也可以不一样。可以证明，四维空间中所有旋转要么是有不动旋转面的简单旋转,要么是除原点外所有点都在运动的双旋转，而每个双旋转又可以分解成两个绝对垂直的单旋转的复合。Hadroncfy的这篇文章详细介绍了双旋转中点的运动。
回到星球的自转上来：我们的宇宙中由于形成初期一些复杂的原因，星球或多或少都在自转，对于四维星球来说双旋转就是一种最一般的自转状态。我们将双旋转分解成两个绝对垂直的单旋转的复合，这两个旋转的速度不一定相等，我们把速度大的旋转平面定为xy平面（下图中红色圆），速度小的平面定为zw平面（下图中红色线，其实也是圆，由于球极投影过极点$-w$），这样就可以建立一个四维直角坐标系。
注意球极投影展示的是超球表面，标出的坐标点是坐标轴与超球表面的交点，坐标原点在球心处，是在球极投影中表示不出来的。
