之前提到过如何利用四维星球的地磁场进行导航，但没有具体分析怎样设计并使用指南针。本文将介绍如何在四维星球上系统使用指南针进行导航。我们将讨论指南针的设计、磁化方式、地磁场分布以及指南针失灵的情况。最后也会谈到使用流体涡漩及星空的其它导航方式。

本文将介绍同调群的概念，及其与同伦群的区别。我们将通过链、边界、同调等概念来理解同调群的定义，并给出一些具体的计算例子。最后还介绍了上同调群解释庞加莱对偶，以及联系场论与拓扑学的德拉姆上同调。

藤瑟先生被邀请来参观无限大养猪场。工作人员负责向他介绍这里的管理模式。工作人员：欢迎您前来参观无限大养猪场。这是个无限大的养猪场，我们养了无数头猪，有无数个饲养员，我们的管理模式很特别。每个饲养员都对猪编号，方便识别它们，但每个饲养员都很有个性，他们对猪的编号系统都完全不一样……

之前的四维引擎是基于WebGL的，现在我决定尝试使用新技术WebGPU API重新实现四维渲染引擎，因为WebGPU的计算着色器可以让截面计算也放在GPU中，彻底解决性能问题，于是新项目——Tesserxel诞生了。Tesserxel取的是单词Tesseract（四维立方体的拉丁词根tessera“四”）和Pixel（像素）。

怎么用电脑键盘来弹钢琴？其实这种电脑钢琴软件很多，比如我之前接触过EveryOnePiano，比较出名的还有FreePiano。当然我们也可以自己做一个类似的东西，我用我自己做的在线钢琴录制了一个演奏视频。

我们在《四维空间（十）：扭结与环扣》中曾介绍过四维空间中各种有洞的图形。怎样研究区分这些洞是拓扑学中一个重要的问题。如果您对拓扑学同胚、同痕一点都不了解的话，我们先简单说说这些基础拓扑学概念。已经了解的小伙伴可以直接跳过哦。

上次对二维曲面结的介绍其实也不算太详细，只给出了一些非平凡的管状结作为例子，今天我们将介绍通过旋转三叶结的方式来构造同胚于球面的结（即允许自相交的话能把这个结恢复成球面），并且证明了有些是真正无法解开的结，另一些是能够通过一些步骤解开成球面，下面我们也来试试解一解高维空间当中的结！

这篇文章将会介绍一种新的可以“统一天下”高维几何的代数系统：几何代数（Geometric Algebra），因为在这个代数体系下包含了标量、向量、多维向量以及各种内积外积混合积，甚至囊括到了旋量（就是让电子转两圈才一样的罪魁祸首）、空间旋转、复数与四元数，矢量场中的各种导数算子，甚至几何代数还能给行列式一个新的定义……