/// 注：本文仅提供对同调相关概念的直观理解，不包含严谨的推导内容，文中若有错误欢迎指正。
上篇文章说了同伦群（Homotopy Group）,这次我们来看看同调群（Homology Group）。同调要稍微抽象一些，但其实某种程度上要比同伦简单。回到最初通过路径判断孔的思路中来，同伦研究的是圆圈连续收缩的过程，虽然直接但难以计算。仔细观察不难发现，那些可缩成一点的图形的内部都是一块封闭的区域。如果假设只要一个封闭路径是图形中某块区域的边界，则认为它没有套住或跨越任何孔洞，我们把这样的圈叫做是“零调”的。注意这里零调的路径虽然跟同伦里的可缩路径很像，但零调的路径可能不一定真的可缩，后面我们将看到同调的条件要弱于同伦。比如下图左图青色区域的边界包含孔的边界和红色圈，单独的红色圈不是任何图形的边界，因此可知它包住了孔，而右图中的红色圈是蓝色区域的边界，因此它不包含任何孔，是“零调”的。
(** 注：本文为一篇好几年前的旧文，是作者对于对偶空间这一数学概念的形象化的想象，因下一篇文章涉及对偶空间概念，故在此发出(然而与其它文章并无因果联系，本文也毫无逻辑可言，看一乐就行，仅在文末给出了一些概念之间的对应关系) **)
（藤瑟先生被邀请来参观无限大养猪场。工作人员负责向他介绍这里的管理模式。）
工作人员：欢迎您前来参观无限大养猪场。这是个无限大的养猪场，我们养了无数头猪，有无数个饲养员，我们的管理模式很特别。每个饲养员都对猪编号，方便识别它们，但每个饲养员都很有个性，他们对猪的编号系统都完全不一样。
藤瑟先生：你们不统一编号不会导致管理混乱吗？
工作人员：不会的，无限大养猪场中的饲养员的个性丰富程度也是无穷的，我们必须要充分尊重饲养员们的个性，这自有解决方法。
由于4DViewer代码混乱且计算截面在CPU端性能低下，今年7月底我决定尝试使用新技术WebGPU API重新实现四维渲染引擎，因为WebGPU的计算着色器可以让截面计算也放在GPU中，彻底解决性能问题，于是新项目——Tesserxel诞生了。Tesserxel取的是单词Tesseract（四维立方体的拉丁词根tessera“四”）和Pixel（像素）。
Tesserxel自带的示例库截图
目前Tesserxel实现了以下功能：
下面就让我们进入Tesserxel构建的四维世界。这里是示例场景库链接(注意要启用WebGPU才打得开)：
https://wxyhly.github.io/tesserxel/examples/
请参考玩Tesserxel后续系列文章中的教程深入了解Tesserxel的玩法哦~
启用WebGPU方法： WebGPU是一个实验性的API，是WebGL的未来“接班人”，它的标准还处于W3C的草稿阶段，未正式发布。目前据说仅Windows下Chrome提供较好支持，而且想开启这项功能还有点麻烦，首先你需要下载Canary版本的Chrome浏览器（谷歌官网，或自行找下载资源），添加–enable-unsafe-webgpu参数启动浏览器，打开chrome://flags/，将WebGPU Developer Features打开（选Enabled）就可以启用WebGPU。
目前的Tesserxel只是一个早期版本，后续会补充Tesserxel说明手册，继续开发更多物理解算、高级材质、离线渲染，以及基于Tesserxel引擎的4D游戏等。（但愿不鸽~）
怎么用电脑键盘来弹钢琴？其实这种电脑钢琴软件很多，比如我之前接触过EveryOnePiano，比较出名的还有FreePiano。当然我们也可以自己做一个类似的东西，我的在线钢琴没有取名字，Github仓库名称我索性用了EveryOnePiano的缩写EOP。
大致的使用方法可以在点开后的菜单条的“?”查看（不详细，最好还是看本文后面给的例子哦），点击键盘，屏幕上会显示一个虚拟电脑键盘，上面将标出每个键的音名、唱名或功能(按住Ctrl、Shift、Alt后会有对应的功能快捷组合键)。本文也有一部分的使用说明，但侧重记录我对它的想法与实现过程。
对了，如果你是手机用户，点击键盘可以模拟电脑键盘，再点一次键盘可以模拟钢琴键盘，类似“完美钢琴”那种手机App哦！
# 本文是《四维空间（十）：扭结与环扣》的续集，本内容对空间想象力要求较高，可能有些地方难以理解，但全文没有任何公式，只涉及几何，不涉及代数，适合挑战空间想象力哦。
# 我发现不仅是我，网上“扭结”与“纽结”全都在混用，那我也懒得改了。
在本系列的上上篇文章中我们知道了四维空间中的二维曲面打结现象与各式各样的孔、环扣等，上次对二维曲面结的介绍其实也不算太详细，只给出了一些非平凡的管状结作为例子，今天我们要从另一个角度来分析扭结。本文的主要内容来自于这个Youtube视频与这篇论文，它介绍了通过旋转三叶结的方式来构造同胚于球面的结（即允许自相交的话能把这个结恢复成球面），并且证明了有些是真正无法解开的结，另一些是能够通过一些步骤解开成球面，下面我们也来试试解一解高维空间当中的结！
#警告：本文内容超级进阶，可以说大概包括四维欧几里得空间的所有基础的代数理论了，本文重代数轻几何，所以可能不太好理解
这篇文章将会介绍一种新的可以“统一天下”高维几何的代数系统：几何代数（Geometric Algebra），因为在这个代数体系下包含了标量、向量、多维向量以及各种内积外积混合积，甚至囊括到了旋量（就是让电子转两圈才一样的罪魁祸首）、空间旋转、复数与四元数，矢量场中的各种导数算子，甚至几何代数还能给行列式一个新的定义……
我们在探讨四维空间中的磁场时提到过两个2-向量之间的三种乘法运算：
| 运算 | $e_{ij}*e_{ij}$ | $e_{ij}*e_{jk}$ | $e_{ij}*e_{kl}$ |
|---|---|---|---|
| 内积$\cdot$ | 1 | 0 | 0 |
| 混合积$\times$ | 0 | $e_{ik}$ | 0 |
| 外积$\wedge$ | 0 | 0 | $e_{ijkl}$ |
当时说感觉上是相同字母可以合并相消，不同字母则直接写在一起构成一个多维向量，这样组合下来每一种n-向量刚好对应一种乘法运算。我们不妨规定一种新乘法运算来同时满足上述条件。为了和内积外积区别，新的乘法不用任何符号表示：
这个新的乘法就是几何积。为了统一，我们规定标量是0-向量。
/** 这篇文章我打算专注一下四维世界（四维空间+一维时间=五维时空）里的物理学——电磁学。这些都是假设这个世界也符合我们世界中的一些物理规律的理论推导。虽然它电磁学不像牛顿力学那么容易让人接受，但这个类比也是无瑕兹而且很自然的（你也可以认为一切都是扯淡）。我们不讨论量子力学等其他物理，因为它们在四维空间中的推广有严重问题。 **/
在我们的三维世界，最神奇的东西之一就是电磁场了，各种电磁感应现象都是立体的，还要用到空间里的右手定则，能不能把这些东西类比到四维空间呢？当然可以。读者只要学过中学物理即可阅读除最后一节外的所有内容，如果知道大学物理和经典的不涉及相对论的麦克斯韦方程就可以全文阅读（我们本文也只考虑四维空间中的低速的非相对论物理过程，其实相对论也能推广到五维时空），其实不清楚也没关系，我会带着大家先过一遍（物理复习-_-）。我们先从最简单的两个相距为$r$的静电荷受的力说起吧。
