四维空间（十五）：平面状态空间与夹角问题（下）
内容概要
- 旋转作用于状态空间
- 状态空间中表示直线
- 面胞夹角范围模拟器
- 上期文末思考题解析
旋转作用于状态空间
我们知道2-向量是可以生成旋转的：比如$\frac{\pi}4 e_{xy}$代表在$xy$平面内从$x$正半轴向$y$正半轴方向旋转45°。旋转反过来又可以作用在单位平面或2-向量上，这说明旋转变换对应着平面状态空间内部的一个变换。我们定义自对偶2-向量生成的等角旋转叫左手旋转，反自对偶生成的则是右手旋转。通过几何代数能证明结论：对2-向量施加旋转，左等角旋转只作用在自对偶分量上，右等角旋转只作用在反自对偶分量上。
（点这里展开/收起推导过程）
由于能表示平面的简单2-向量是两个大小相等的自对偶、反自对偶2-向量之和，因此简单旋转是两个转速相同的左右等角旋转的组合。举一个例子：绕xy平面旋转90度的这个旋转变换，它保持xy、zw平面不变，因此只可能是在状态空间中刚好以两个球面上xy、zw平面相应的点为轴的旋转。我们可以验算：该旋转把yz平面旋转到xz平面的位置、把xw平面旋转到yw的位置，其状态空间确实做了相应的旋转变换。
对四维所有平面空间（即S2XS2）执行旋转，若是等角双旋转，则只有一个球面转动，另一个保持不动；若是简单旋转，则两个球面都旋转且角速度相同。且对于非等角旋转，两个球面都会转动，转轴交两球面有四个点，它们刚好能表示出绝对垂直的旋转平面对。对于简单旋转，绝对垂直的旋转平面对又一个才真的在旋转，另一个则是静止的，如何区分它们呢？答案是通过旋转方向来辨别：两边都选取正面看过去在顺时针旋转的那个极点，其对应的平面的霍奇对偶就是旋转平面。这些顺时针逆时针不是根深蒂固的，它跟我们建立的自对偶/反自对偶空间坐标系的三个轴的定向有关，如果交换两个轴导致空间手性变化，则结论也会相反。
Hopf纤维丛的对称性
通过旋转在状态空间中的变换规律还能得出关于Hopf纤维丛的一些对称性结论。右手（或左手）Hopf纤维丛中圆周所在的平面其实就是与某一平面右手（或左手）等角的所有平面的集合，我们称其为右手（或左手）等角平面簇。对于右手等角平面簇，它在任意左手等角旋转下会保持不变，且会将簇中的平面旋转到同在簇中的其它平面的位置上；它只在某特殊的右手等角旋转下才保持不变，这些旋转会保持簇中所有平面不动，即只能沿着纤维丛圆周的方向旋转。换句话说就是，右手等角旋转的产生的轨道圆周都夹右手等角，左手等角旋转的轨道圆周都夹左手等角。为什么是相同的呢？其实这没有更深刻的含义，仅仅是定义问题：我故意选取平面之间的左手右手关系与左右手旋转的轨迹间手性保持一致，同理左右手旋转也故意选取跟四元数左右乘对应的旋转保持一致。交换左右的定义也完全没问题，只是结论会相反，不会显得这么整齐。
（注：我发现我之前的文章中关于左右手旋转的定义是乱的，趁此机会我已将旧文中的说法都统一了）
平面与直线、胞的夹角问题
在四维，求夹角范围的问题其实还有这些情况：
- 已知A、B两平面夹角为$\alpha_1$和$\alpha_2$，A与胞C的夹角为$\beta$，求B、C之间的面胞角$\gamma$的取值范围。
- 已知平面A与平面B分别与胞C夹角为$\alpha$和$\beta$，求A、B平面之间的两夹角$\gamma_1$与$\gamma_2$的取值范围。
我们不再关注三维空间直线与平面夹角范围问题，因为能等价转化为直线与平面的法线夹角的问题(其答案角度互余)，四维空间中平面与直线、直线与胞夹角等问题同理。
为了解决这些问题，我们必须找到在平面状态空间中（也就是那两个球面）表示胞或其法向量的方法。胞的法向量是四维空间中的单位向量，其所有集合构成超球面$\mathbb{S}^3$，完全无法融入两个球面空间$\mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^2$中，让我们回想直线与平面的夹角计算公式：求单位向量与单位2-向量的外积，得到一个3-向量，其大小为夹角的正弦值。我一番尝试后发现，外积的计算公式也没办法在平面状态空间中直接表示出来。难道只能放弃对偶分解，回到最普通的6个坐标面基底硬着头皮计算？后来我想到了使用平面交线来表示直线的间接方法解决了此问题。
直线的表示
如果两平面有交线则说明它们半平行。所有过某直线的平面，它们都该两两半平行，形成半平行平面簇。由于半平行的两平面在两边的球面距离是相等的，我自然就联想到：自对偶与反自对偶球面之间的每个保持球面距离的对应关系都给出了一簇半平行平面簇。这个半平行平面簇应该是最大的了，因为我已经让两边球面上所有点都参与了，已经没有加入其它平面的点且仍然保持两两半平行的方式了。
每个保持球面距离的对应关系在数学术语中叫做等距同构，球面之间的所有等距同构很明显对应正交群O(3)，即球面上所有的旋转与反射变换。这是否说明每个旋转旋转与反射变换都对应一条四维空间中过原点的直线呢？特别是反射变换显得很不自然：旋转变换是连续变换，四维直线的状态空间（超球面）也是连续的，不需要反射变换，说明该对应关系不成立。
其实半平行平面簇除了都共线（共有交线的意思，下同）的情况，还有另一种可能就是都共胞，这个情况下包含了一个三维胞中的所有平面。虽然它们的交线不唯一，但它确定了这个胞，也就确定了法向量。我们看到，半平行平面簇也不完美，它也出现了两种截然不同的模式：一种是共线模式，另一种是共胞模式。
正交群O(3)中包含反射变换，我们根据变换是否有翻转定向可将群分成两个部分（也叫陪集），第一个部分是纯旋转，第二个部分是加入了一次反射的旋转。我们希望这两部分跟两种半平行平面簇刚好能对应起来。事实的确如此：共线模式的平面簇的法平面（即绝对垂直）构成的簇就是共胞模式，而绝对垂直就是保持一个球面不动，另一个球面中心反演到其对径点的操作，三维空间中的中心反演正好将其手性（定向）改变了，至此所有线索都联系起来了。
纯旋转跟带反射的旋转到底哪个对应共线模式、哪个对应共胞模式呢？这也取决于坐标系的选取。自对偶分量与反自对偶分量就像是两个完全独立的世界，它们之间没有任何特别的对应关系，没有参照物比较也无法界定两边空间的手性（定向）是否一致。如果按下图选择坐标系，则这样的直接对应表示的是x轴。
最后还有一个巧妙的事实：把三维球面$\mathbb S ^3$上的对径点等同后的空间就是三维空间中的所有旋转$SO(3)$组成的拓扑空间。常规的证明用的是四元数表示三维旋转的公式。现在我们又多了一个理解它的方式：三维球面$\mathbb S ^3$上的对径点就代表四维空间中所有过原点的直线。共胞与共线模式我们选一种就够了，因此可以确定一种定向后只考虑旋转映射，即每个旋转都唯一对应四维空间中的一条过原点直线。
平面与直线的夹角
下一步就是如何表示直线与平面的夹角。现在直线被定义成了自对偶跟反自对偶球面之间的等距同构映射。我们很自然地想到可以通过该映射将一平面的两个分量拉到同一球面上来比较距离。这个球面距离是否就对应线面角呢？这样做其实是把在所有平行于该直线的平面中跟另一平面等角的那张拎出来了（想想为什么），根据等角平面的定义，该平面上所有直线都与另一平面夹等角，这个角度明显就是要求的线面角。但要注意的是球面距离是两角的和或差，其绝对值一定是线面角的两倍，因此答案是这个球面距离的一半才是待求的线面角。利用此原理，我们终于有了可精确解决三维胞中的所有平面跟另一平面的夹角范围的工具。
问题1的求解
已知A、B两平面夹角为$\alpha_1$和$\alpha_2$，A与胞C的夹角为$\beta$，求B、C之间的面胞角$\gamma$的取值范围。
问题一可简述为，已知两平面间夹角和一平面与一胞的夹角，求另一平面与该胞的夹角范围。
平面间的夹角在状态空间中是球面上的弧长，而与胞的夹角则是通过映射把两球面上的点放到一张球面上去比较距离。下面我们固定胞(即映射)与平面A（下图中绿色点）的位置，平面B的可取的范围在两球面上分别是两个圆周（紫色实线画出）。平面B与胞C的夹角就是将两圆周映射到同一平面上后，两圆周上点的距离范围。又已知映射后两圆心之间的距离就是题目中给出的线面角的两倍，现在的问题完全变成了一个球面几何题：已知两圆心的距离与各自的半径，求两圆周上最近距离与最远距离。
然而由于角度具体数值不同，两圆周可能有相离、包含、相交等情况。需要根据具体情况得到最终结论。给定圆1的半径为$r_1$、圆2的半径为 $r_2$两圆圆心之间的距离为 $d$，我用AI帮我快速总结了两个圆周上点之间距离的取值范围表达式：
$$D \in [\max\left(0,\ d - r_1 - r_2,\ |r_1 - r_2| - d\right), d + r_1 + r_2]$$代入具体的角度：$$\begin{aligned}
d &= 2\beta \\
r_1 &= \alpha_1 - \alpha_2 \\
r_2 &= \alpha_1 + \alpha_2
\end{aligned}$$记得这个球面上的距离其实是要求的面胞角的两倍，化简整理后还要除以2，得到：$$D \in [\max\left(0,\ \beta - \alpha_1,\ |\alpha_2| - \beta\right), \beta + \alpha_1]$$这个表达式还要继续修正：除了要处理大于180°的优弧，我们还要处理大于90°的情况。在四维空间中直线和平面组成的图形就算考虑定向也不再有手性。看似我们能用右手定则，用手比出平面漩涡的方向，通过大拇指跟直线的方向相同或相反来确定定向，然而三维人的左右手在四维空间中本来就可以通过翻转变化，失去了参考的意义了。平面与三维胞的情况也同理，因为它们跟平面与直线的情况互为霍奇对偶。因此我们直接将面胞角取值范围大于90°的部分截断翻折过来。跟处理大于180°的优弧不同的是，这次是真正在翻折区域而不是边界，因此当区间端点碰到90°边界后会被截断，而不是“反弹”。读者可以在文末的模拟器中体验理解。
问题2的求解
已知平面A与平面B分别与胞C夹角为$\alpha$和$\beta$，求A、B平面之间的两夹角$\gamma_1$与$\gamma_2$的取值范围。
问题二可简述为，已知两平面与同一胞各自的夹角，求两平面间的夹角范围。
下面我们固定胞(即映射)的位置，则根据胞映射和面胞角，如果固定平面A与平面B在某一球面上的位置，则它们在另一球面上点是两个圆周。下面引入未知数$a=|\gamma_1-\gamma_2|$表示固定位置球面上的距离（取值为$[0,\pi]$），我们可根据几何关系求出两圆周上点的距离范围，即$b=|\gamma_1+\gamma_2|$的取值。
然而由于现在多了一个未知参数a，需要进行分类讨论圆周相离、包含、相交所有可能的情况才能综合得到$a$、$b$之间的联合取值范围。
在线模拟器
由于分类讨论太繁琐，我们直接跟上次一样通过随机模拟器来检验夹角取值范围。
问题一
问题二
状态空间中的其它几何意义
面面角的再解释
两平面之间的两个角度值$\theta_1$、$\theta_2$是这样定义的：一平面上任意直线跟另一平面夹角范围的最大值与最小值。我们可以在状态空间中加以验证：给定平面的上的所有直线其对应的映射都会将该平面在左右球面上的点刚好对应上。因此还剩下一个绕该点旋转的自由度，因此下图中另一平面的点可以该点为圆心取一整个圆周。
直线跟另一平面之间的夹角$\alpha$的取值范围显然可通过三角形三边范围确定：$$\left| (\theta_1 - \theta_2) - (\theta_1 + \theta_2) \right| \leq 2\alpha \leq (\theta_1 - \theta_2) + (\theta_1 + \theta_2)$$化简得到$$\left|\theta_2\right| \leq \alpha \leq \theta_1$$如果忽略掉$\theta_2$符号表示的手性信息，这正好就是两平面之间的两个夹角的定义。
两直线张成的平面
我们知道，直线的两映射中，映射两边的点都是过该直线的平面，那么两直线确定的平面就是两个映射下值相同的源点与像点。需要注意这样的源点像点有对径的两对。我们选取一对点即可，因为另一对点对应的平面相同，只是2-向量的定向相反。
上期思考题详解
如果每个球面上选择正多面体的顶点，两两组合出所有过原点的平面，它们在超球面上的交圆有什么对称性呢？（一共有$5\times 5=25$种情况，排除手性异构还有15种情况）
正八面体 - 正八面体
首先我们来看两边都是正八面体顶点的情况。
圆周数与相交情况
由于正八面体有相对的顶点，会把同一张平面的不同定向算两遍，正八面体有6个顶点，排列组合得到$6\times 6=36$个2-向量，去重后得到18个平面。这18个平面会相交吗？由于左右球面上取任意两个顶点都能随便各自沿着一条棱走固定距离分别找到另外两个点，这就说明每个圆周都至少会跟其它一些圆周相交。值得注意的是正八面体中顶点的距离有两种：第一种是两点隔一条棱的距离，第二种是两点位于对面最远的距离。但第二种其实对应定向相反的同一平面，所以这里就不用考虑它们了。
交点处圆周数量情况
给定了交点，即左右球面上取任意两个顶点都能随便各自沿着一条棱走固定距离分别找到另外两个点的对应关系，整个两边球面上的对应关系也就随之确定了：这就是平面的交线，对应超球面上的两圆周交点。求交点处的圆周数量，就要找出所有跟这个对应关系相符的所有平面。两边正八面体各自相对应的6个顶点就代表了6个2-向量，同样除掉相反方向，我们得到三个圆周交于一点。由于正八面体顶点之间的球心角是直角，根据上期说过的半平行平面夹角在状态空间中的规律可知，这三个圆周也是互相垂直的。
总交点数量
要求交点总数，就是要找出正八面体上的所有旋转对称性（想想为什么）。选择第一个顶点对应关系时有6种情况，选第二个顶点时只能绕该顶点为轴旋转，角度只能是90°的整数倍，因此还剩4种情况。选择了两点后，整个旋转就确定了，因此有$6\times4=24$个不同的顶点对应映射，对应四维空间中24条直线。但这些直线会穿过超球面两次，总交点数为48。
每个圆周上的交点数
目前为止我们还是很难想象这个有18个圆周、48个交点、每个交点处三个圆周垂直相交的图形是什么样的。因此我们再来看看每个圆周上有多少个交点。这就要用到关于旋转的知识了。我们找到了圆周上的一个交点后，通过沿着圆周方向旋转就能找到其它交点。前面旋转小节说过，沿着圆周方向的单旋转就是在状态空间中绕其在左右两球面上各自的点旋转相同的距离。很显然要遇上其它交点，正八面体绕一个顶点旋转的倍数必须是90°的整数倍，因此我们得到了4个交点。
具体对称性
一个圆周上4个交点、每个交点三条两两垂直的圆周，熟悉四维正多胞体的读者肯定会想到正16胞体。然而除了这两个条件符合外，其它条件却不太一样：正16胞体有8个顶点，有24条棱，除以4得到圆周数为6个。但我们的图形交点却多达48个、圆周数18个。
后面我仔细观察发现，该图形每个圆周虽然只有90°旋转对称性，但其上有8个交点，我们之前默认交点都一样是错误的（相邻两个交点正交的方向斜了45°，无法通过旋转完成）。该图形可以看作三个正16胞体以不同角度嵌套在一起的东西。
正方体 - 正方体
按照正八面体的思路分析即可。但这个例子会有些不一样的地方。
圆周数与相交情况
正方体也有相对的顶点，会把同一张平面的不同定向算两遍，排列组合得到$8\times 8=64$个2-向量，去重后得到32个平面。正方体中顶点的距离有三种：第一种是两点隔一条棱的距离，第二种是两点隔面对角线距离，第三种是两点相对隔体对角线距离。第三种对应定向相反的同一平面，所以忽略第三种，还有两种距离，对应圆周相交时有两种角度。
交点处圆周数量情况
只要确定了交点，即确定了两边正方体8个顶点各自对应关系。同样除掉相反方向，我们得到4个圆周交于一点。根据状态空间中半平行平面夹角公式，这四个圆周两两夹角恰好等于正方体上顶点之间的球心距离。这说明了在交点处圆周相交的“顶点图”是正方体，即局部看上去是交点在正方体中心，其它圆周过中心去连接正方体顶点的那种角度分布。这就解释了圆周相交的角度为什么会跟正方体顶点距离一样有两种。
总交点数量
要求交点总数，就是要找出正方体上的所有旋转对称性（想想为什么）。选择第一个顶点对应关系时有8种情况，选第二个顶点时还剩3种情况（给定正方体的顶点有三重对称性），选择了两点后，整个旋转就确定了，因此有$8\times3=24$个不同的顶点对应映射，对应四维空间中24条直线，总交点数还是48。
每个圆周上的交点数
目前为止我们还是很难想象这个有32个圆周、48个交点、每个交点处四个圆周按立方体顶点分布相交的图形。因此我们再来看看每个圆周上有多少个交点。找到了圆周上的一个交点后，还是通过沿着圆周方向旋转来找其它交点。要遇上其它交点，正方体绕一个顶点旋转的倍数必须是120°的整数倍，因此我们得到了3个交点。但注意这个旋转是考虑了定向的，另外三个交点处平面定向是反的，夹角方向也是反的。实际的交点数量有6个。
共胞的圆周
两个半平行的平面能确定一个三维胞。对应在超球面上，两个相交的大圆能够确定一个大球面。之前我们讲了共胞与共面的对偶关系：它们仅仅是左右球面通过镜像翻转联系起来的对应关系。因此同一个三维胞中的平面总数还是数正方形上顶点的对应关系，数量也是正方体上8个顶点分别的对应关系（陪集的性质决定了反射的数量跟纯旋转的数量一样多），除去定向相反的情况，说明一个超球面上一个“大球面赤道”上有4个圆周。
大球面赤道
我们着重看下大球面赤道：它是由4个圆周构成、每个圆周上有6个交点，这意味着死磕圆周必须要两两相交。熟悉三维多面体的读者可能已经看出来这只能是截半立方体的配置。现在终于能直观体会每个圆周看似3个交点，实则为6个了：这个图形本来就只有120°旋转对称性。我们在《四维空间（三）：谈正多胞体》中指出它出现在了正24胞体的中心结构中。那么整个图形的所有圆周是否组成了正24胞体呢？
与正24胞体的关系
正24胞体有24个顶点、24个正八面体胞、96条棱与96个三角形面。正24胞体碰撞到球面上后，确实每个大圆上有6个交点，因此总的圆周数为棱数除以6，即16个圆周。我们的图形有48个顶点、32个圆周，这两个数量是正24胞体的两倍，显然对不上。但是正24胞体的顶点图确实跟我们的图形一致，都是正方体。因此局部来看这个图形很像正24胞体，但总体图元数量却翻倍了。要理解究竟发生了什么我们需要重新考察正方体的各个顶点，以及相关的旋转映射的关系。之前我们不论是旋转还是反射来找共胞、共线的平面都是保持某个顶点不动的变换。这些变换有个特点：如果将正方体顶点以如下方式染色，我们发现保持某个顶点不动的变换永远不会把顶点转到不同染色的位置上去。
这就说明我们的图形的所有平面可以分成完全不相交的两组，每一组都是正24胞体！最后借助计算机我们看到，这两组正24胞体的空间位置正好互为对偶，反映了正24胞体自对偶的精彩事实。
正四面体 - 正方体
正四面体与正方体有个巧妙的联系：正方体交错着删除一半顶点就是正四面体，换句话说球面上把正四面体顶点的对径点补出来就能恢复成正方体。因此正四面体 - 正方体、跟正方体 - 正方体配置只相差了一半的对径点，它们代表相同平面的相反定向，现在正好去掉了重复的定向，说明正四面体 - 正方体跟正方体 - 正方体完全一样，还是生成了两组互为对偶的正24胞体。
正四面体 - 正四面体
现在我们还要将把正四面体-正方体中再移除一半的顶点。由于现在已经没有重复的平面了，因此该操作将会把其中一半的正24胞体的所有圆周删掉，得到一个纯的正24胞体。
正四面体 - 正八面体
这个图形在两球面上确实找不到长度相等的顶点距离。因此生成的圆周两两都不相交，由于正四面体不是中心对称图形，因此没有重复计算定向的平面，一共$4\times6=24$个圆周，没有什么明显特殊的几何意义（若读者发现了其它重要性质欢迎分享）。
正十二面体 - 正二十面体
这个图形在两球面上也找不到长度相等的顶点距离。因此生成的圆周两两都不相交，由于两个图形都是中心对称图形，因此要剔除重复计算定向的平面，一共$20\times12/2=120$个圆周，也没有什么明显特殊的几何意义。
正二十面体 - 正二十面体
正二十面体 - 正二十面体组合的圆周数量为$12\times12/2=72$。正好生成了一个完整的正600胞体：一共有720条棱，在超球上刚好是72个10元大环。
正十二面体 - 正十二面体
正二十面体 - 正二十面体组合的圆周数量为$20\times20/2=200$。我们希望它能生成正120胞体。然而正120胞体每个顶点发出四条棱，顶点图为正四面体，没有完整的圆环结构。可以证明将正120胞体的各棱延长就会得到该结构。相比于正120胞体，该结构在原胞心处还多出了棱延长后的交点。
现在出现了两种顶点图结构：一是原正120胞体的顶点，顶点图为正四面体，棱延长后顶点图变成了正方体；二是原胞心处还多出了棱延长后的交点，顶点图为正十二面体。它们分别对应正十二面体上的一条棱的长度和正五边形上对角线的长度。这些对角线可以刚好组成一个内接正方体，这就解释了两种顶点图结构的存在。更远的顶点距离不会给出新的情况了，因为去找对径点后就还是会变成这两种情况之一。
正十二面体 - 正方体
我们看到正方体跟正十二面体有个很巧妙的内接关系，说明正十二面体 - 正方体图形里面会有圆周相交，且它可以看作是正十二面体 - 正十二面体生成的图形的一部分。该图形带手性，且交点的顶点图都是正方体，有兴趣的朋友请自行分析其它性质，这里就直接上图了。
截角正二十面体 - 截角正二十面体
最后我们来玩个大的：两个足球形状的截角正二十面体会生成怎样的结构？我用计算机生成了$60\times60/2=1800$个圆周，太卡了，画出来也看不清楚，也懒得分析了。