2023-02-26

闵氏空间与常曲率空间的几何

闵可夫斯基空间中的“双曲旋转”变换，图片来自维基百科

今天我们来看看一种基于闵可夫斯基空间构造的一系列世界，并介绍一些微分几何学的相关概念。许多奇特世界与其都有一定的联系。本文更多涉及到这些空间的几何性质，后续我们再讨论这些世界里的天文学、居民生活等是什么样的。提前剧透：闵可夫斯基世界对我们来说既陌生又熟悉。

特色内容

双曲函数与双曲角
闵氏空间中的物理学
德西特与反德西特时空几何
内蕴几何与内禀曲率
黎曼曲率张量的几何意义

按常规认知，在直角坐标系下两点之间的距离公式是： $s^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ 我们把这样的普普通通的平面叫做二维欧几里得空间，记作 $R^{2}$ ，简称欧氏空间。下一步可以定义圆，它是到原点距离为定值的点的集合，因此圆满足的方程为： $x^{2} + y^{2} = R^{2}$
平面上除了可以构造之前提到的p范数世界，还有没有其它可能的距离的世界呢？比如平方为什么非得要相加呢？变成平方相减会怎么样呢？即：
$s^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} - (y_{2} - y_{1})^{2}$
使用这种距离的空间就叫做二维闵可夫斯基空间，记作 $R^{1, 1}$ ，简称闵氏空间。这个空间的圆变成了双曲线：
$x^{2} - y^{2} = R^{2}$
双曲线是这个空间中最对称、最完美的图形！
为什么会想要构造这样的空间呢？因为高等数学中有双曲函数这个东西（大家应该听说过吧），我们将看到在这个空间里，双曲函数将取代三角函数的地位！回到距离公式上来，显然这个空间中最特别的是，有些点之间的距离平方变成了负数，开方就变成了虚数。其实简单分析可以得到，落在下图中黄色区域的点到坐标原点的距离都是虚数，左右白色区域中的点到P的距离则是正常的正数，而落在灰色的边界上距离为0。这种距离度量下的世界到底是怎么样的呢？这些虚数距离与实数距离交织在一起有意义吗？在继续讨论这个世界的意义之前我们先来看看此空间的数学性质。到原点距离的平方按符号划分的区域

双曲函数与双曲角

一般高数书会直接给出双曲正弦 $\sinh (α)$ 、双曲余弦 $\cosh (α)$ 的表达式作为定义：
$\sinh (α) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ $\cosh (α) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 这些指数函数跟正弦、余弦、双曲线有什么关系呢？其实上面这种定义没有体现双曲线的本质，下面介绍关于双曲函数的几何定义。三角函数可以定义在单位圆内，类似地，双曲函数也可以定义在“单位”双曲线内(微积分可算出它们就是上面的指数表达式)。我们知道在最自然的弧度单位制下，三角函数的自变量是圆心角，其值等于它所对应的弧长，也等于它夹出来的扇形面积的一半。
三角函数与圆周，图片来自维基百科

通过微积分计算可知，双曲线下一个夹角所对应的弧长和扇形面积之比并不是一个常数，但如果换成闵氏空间的长度度量方式来计算双曲弧长，则这种“弧长”就刚好等于面积的一半了！这表明单位双曲线在正常欧几里得距离度量下不是一个很对称的图形，后面我们都将在新的距离度量空间（闵氏度量）中研究这个双曲线，在闵氏空间中它才是“圆”！

距离公式与度量

对于任意曲线的长度，必须先按距离公式计算无限小线段长度 $d s = \sqrt{d x^{2} - d y^{2}}$ 再积分得到。（可以按线长很小时 $x_{1} - x_{2} = d x$ 来理解），这种微分形式的距离公式称为度规或度量，它远比两点之间距离公式适用范围要广。我们后面都将用术语度量，而不再说距离公式。这样正常的勾股定理对应的度量就要记作 $d s^{2} = d x^{2} + d y^{2}$ ，闵氏度量则是 $d s^{2} = d x^{2} - d y^{2}$ 。

双曲角

我们自然就想到用这种弧长作为双曲函数的自变量。下图中标注的双曲角为 $α / 2$ ，其中的 $α$ 其实就是黄色“双曲扇形”的面积。双曲函数的自变量最自然的理解就是一种角度，只不过是闵氏空间中全新定义的双曲角！角度的正弦、余弦值定义跟三角函数还是一样的，就是纵坐标、横坐标的值。
双曲函数与双曲线，图片来自维基百科

闵可夫斯基世界中的“双曲旋转”

双曲线在这个世界上应该是最完美最对称的图形，因此它应该有某种“旋转”对称性，这种旋转必须要保持图形各部分点之间的闵氏距离不变，称之为“双曲旋转”或“伪旋转”。跟圆角类似，我们通过双曲角来度量双曲旋转的角度大小。再次提醒：计算双曲角的弧长必须使用闵氏距离，我们要尝试抛弃掉欧几里得距离观才能更好适应这个世界。下面将涉及旋转的公式推导，不想看的伙伴们可点这里直接跳过。

怎样定义保持双曲线不变的旋转呢？给定一个双曲角，我们不妨看看横坐标上的 $(1, 0)$ 会旋转到哪，即求给定长度的一段弧的端点的坐标。根据双曲函数的定义，新坐标应该为 $(\cosh (α), \sinh (α))$ 。怎么计算任意的点 $(x, y)$ 旋转双曲角 $α$ 后的坐标呢？按欧几里得空间中的经验，涉及旋转还是极坐标方便，因此我们也来定义一个双曲角的极坐标：用点到原点的闵氏距离 $r$ 与跟 $x$ 轴正半轴的双曲角 $α$ 表示。给定极坐标下的 $(r, α)$ ，通过双曲函数就能转换到直角坐标，即 $(r \cosh (α), r \sinh (α))$ ；反过来给定直角坐标算极坐标呢？首先距离 $r = \sqrt{x^{2} - y^{2}}$ ，角度的计算与三角函数类似，由三角形相似对应边成比例不难发现，双曲角 $α$ 的双曲正切值为 $y / x$ ，即 $y / x = \sinh (α) / \cosh (α) = \tanh (α)$ ，把 $\tanh$ 的反函数记作 $artanh$ ，则 $α = artanh (y / x)$ ，解方程可得到反双曲正切函数的具体表达式 $artanh (x) = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x})$ 。
好了，现在终于能计算点 $(x, y)$ 绕原点旋转双曲角 $β$ 后的坐标了：先转换到极坐标，把角度加 $α$ ，再转换回直角坐标，搞定！

直角坐标转极坐标： $α = artanh (y / x)$ ， $r = \sqrt{x^{2} - y^{2}}$ ；
旋转双曲角 $β$ ： $α^{'} = α + β = artanh (y / x) + β$ ， $r^{'} = r = \sqrt{x^{2} - y^{2}}$ ；
转换回直角坐标： $x^{'} = r^{'} \cosh (artanh (y / x) + β)$ ， $y^{'} = r^{'} \sinh (artanh (y / x) + β)$ ；

上面的表达式可以化简，我们将用到下面类似三角函数的双曲和差角公式，证明很简单，用指数函数的定义式代进去计算即可。(注意区别三角函数余弦公式符号是减号)
$\sinh (A + B) = \sinh (A) \cosh (B) + \cosh (A) \sinh (B)$ $\cosh (A + B) = \cosh (A) \cosh (B) + \sinh (A) \sinh (B)$ 化简得到： $x^{'} = r^{'} (\cosh (artanh (y / x)) \cosh (β) + \sinh (artanh (y / x)) \sinh (β))$
这里遇到了双曲函数嵌套反双曲函数，根据几何意义，很明显 $x = r \cosh (artanh (y / x))$ ， $y = r \sinh (artanh (y / x))$ ，又因为 $r^{'} = r$ ，于是我们得到： $x^{'} = x \cosh (β) + y \sinh (β)$ 同理化简 $y^{'}$ 得： $y^{'} = x \sinh (β) + y \cosh (β)$

通过表达式发现，双曲旋转跟正常旋转一样，因变量

x^{'}

、

y^{'}

关于自变量

x

、

y

都是一次的，说明这是一个线性变换——直线旋转后还是直线，不像一般的p-范数空间里的旋转那样产生非线性的扭曲。这是双曲旋转的一个重要性质。（注：p-范数空间中也可以这样推旋转公式，但会卡在三角函数没有和差角公式而无法化简）

题外话：复数、双曲函数与双曲复数

这里想聊聊双曲函数跟复数之间的一些有趣的话题，本小节内容较独立，想不看的还是可以点这里继续跳过哦。

或许大家听说过关于复数的欧拉公式：

e^{θ i} = \cos (θ) + i \sin (θ)

这个等式说明了指数函数在虚数轴上是有周期的，函数值会一直在单位圆上打转。这种自然而然就把圆放在特殊地位的行为，在闵可夫斯基空间中的居民看来是不能容忍的，因此它们要改造公式，使得等式右侧出现的是双曲函数，这样函数值就能在复平面中的双曲线上运动了。可这能做到吗？根据双曲函数表达式不难发现：

e^{x} = \cosh (x) + \sinh (x)

但这东西已经是纯实数域中的公式，不能在复平面上画出双曲轨迹，不好玩！还有没有其它办法呢？答案是改造复数！虚数单位是假设

i^{2} = - 1

，如果改一改，假设另一种虚数单位

j^{2} = 1

，但

j

又不同于

1

，就会一套类似于复数的双曲复数代数系统。这套系统里的欧拉公式真的就是双曲正余弦：

e^{θ j} = \cosh (θ) + j \sinh (θ)

值得一提的是，双曲复数系统中计算复数的模长仍然是自己乘以自己的共轭，比如

| x + j y |^{2} = (x + j y) (x - j y) = x^{2} - y^{2}

，这个长度正是双曲复平面上的闵氏距离！其实还可以证明，如果把点

(x, y)

看成双曲复平面上的点

z = x + j y

，则旋转操作跟给复数

z

乘上

e^{j β}

是等价的！这就好比在电气领域广泛使用复数来简化涉及交流电相位角有关的计算问题，使用双曲复数同样将大大简化与双曲旋转有关的计算！

双曲复数与正常复数的唯一较大的区别在于它有很多零长度的数，它们的倒数不存在。比如 $1 + j$ ，这个数的倒数 $\frac{1}{1 + j} = \frac{1 - j}{(1 + j) (1 - j)} = \frac{1 - j}{0}$ 可见双曲复数的除法中所有长度为零的数都不能做除数！

闵氏世界的奇特方向

下面我们将通过双曲旋转窥探这个世界的空间性质。首先，双曲线与圆最大不同就是后者是有限大的封闭图形。双曲线虽然看起来是无限大的，在闵氏距离度量下会不会有限呢？计算可知闵氏度量下双曲线也是无限长的，因此双曲函数不像三角函数那样具有周期性，双曲旋转也没有周期性；其次，由于旋转保持距离不变，那些点之间距离为虚数的点旋转前后还是虚数。由于原点并不比其它点特殊，我们可以将以空间中任意一点发出的向量进行分类：按向量闵氏长度大于零、为虚数、等于零划为三块方向区域，任意旋转不会改变向量长度，因此对这些方向的划分是该空间的一种固有性质，即使旋转了坐标系也不会改变。为了方便称呼，先临时叫它们为实方向、虚方向、零方向，注意这些方向性质有本质上的意义，与坐标的选取无关，你无法通过旋转将一种性质的方向变成另一种！这样一来，一些我们觉得常规的图形将会变得非常奇怪，好端端的圆形会被切成性质不同的几段曲线，很难想象如果真的有这个世界在里面生活会遇到多乱的事，或者说这样的世界，它真的有意义吗？
红色为实方向、蓝色为虚方向，灰色为零方向

我们都生活在闵可夫斯基世界

然而，闵氏世界这个看似一点都不美妙的地方还确实是一个真实的物理世界系统，其实我们人人都在这里面，它就是我们的时空！不考虑时空弯曲的话，四维闵可夫斯基世界 $R^{3, 1}$ 正好就是相对论所研究的世界。我们刚才讨论的二维闵氏空间则对应二维时空模型，下面我们来揭秘它与时空的联系。

二维时空

简单起见，先从低维开始。在平面上定义 $x$ 轴为空间方向， $y$ 轴为时间方向，我们可以通过一条曲线来表示一个一维世界中的某个粒子随时间的时空轨迹，叫做粒子的世界线。习惯上将某时刻例子放在坐标原点，若粒子静止，则世界线就是与 $y$ 轴重合的直线，如果相对与参考坐标有速度 $v$ ，则世界线变成斜线 $y = x / v$ 。选取光速为1的自然单位制，则光子的世界线就是 $y = \pm x$ ，即那些0方向的直线，这看似有点牵强，我们马上将介绍相对论：相对论认为光速在任何参考系下都是不变的，爱因斯坦因此推导出了相对论。双曲旋转不会改变方向的性质，那么无论如何旋转，0方向还是0方向，这正是相对论中光速不变的几何诠释！毕竟这个博客的定位不是物理科普，网上早已有非常详尽的科普了，具体的细节这里就不展开了，B站上结合闵氏几何讲得最清楚的应该是这个视频：《狭义相对论，但可视化》（强烈推荐！！）。下面用几何的语言再翻译相对论的表述：

相对论的不同速度的变换叫洛伦兹变换，也就是我们刚才说的双曲旋转：
翻译：直接看下面这张动图感受一下：以运动的物体为参考系，当物体加减速时就需要旋转时间轴使得这个参考系下的y轴始终与世界线相切。注意动画中叠加了沿曲线的平移和双曲旋转。
沿着快速加速的观察者的世界线来看的时空，来源：维基百科
任何物体的速度不能超过光速：
翻译：静止的物体的世界线是平行与时间轴 $y$ 轴的直线，方向为虚方向，选择其它速度的参考系其实就是在旋转时空的坐标，根据旋转的几何性质，虚方向永远为虚方向，曲线斜率绝对值永远大于1，即速度永远小于光速，又由于旋转没有周期，匀双曲角速度旋转坐标系可一直进行，因此物体在它自己看来，可以永远匀加速但还是无法达到光速。
时空中的距离可分为类空、类时、类光三类：
翻译：两点之间的距离分为的实数、虚数、0三类是有明确物理意义的。实数距离代表两点是空间间隔，总能找到一个参考系把它们变换到空间轴x轴上，我们将这种方向叫类空的；虚数距离说明两点是时间间隔，总能找到一个参考系它们变换到时间轴y轴上，这种方向叫类时的；0距离说明两点之间是“类光”间隔，因为在任何参考系下通过斜率计算速度都是光速。通常的有质量物质的世界线永远都是类时的，无质量粒子（如光子）的世界线永远都是类光的，不存在类空世界线的粒子，它们若存在将会违反时空的因果结构。
粒子的一段世界线的长度为该粒子经历的固有时，即自己感受到的时间流逝。
翻译：当粒子静止时，世界线与y轴重合，所以两点间世界线长度跟两点时间差相同，叫固有时。双曲旋转前后不改变图形长度，因此固有时（长度）不变，坐标时（y坐标值）改变。
物体运动起来时会产生尺缩效应与钟慢效应：
翻译：通过双曲旋转，在新的坐标系下看坐标分量就不难看出，具体构造方法可以参考上面提到的可视化相对论的视频。
同时的概念是相对的，不同参考系下对“同时发生”看法可以存在不一致：
翻译：旋转坐标系不可能只动一根轴，时间轴旋转了方向，空间轴那么自然也会动（牛顿时空观则不会动），在新的坐标系下等时面也变得倾斜，拥有同样时间坐标的两点在另一坐标系下当然不一定还拥有同样的时间坐标值。车库悖论、堵火车悖论等经典相对论佯谬均来源于此，细节参考上面提到的可视化相对论的视频。

四维时空

对于我们四维时空，距离度量为 $d s^{2} = d x^{2} + d y^{2} + d z^{2} - d t^{2}$ ，即只有时间分量平方前面的符号是负数。距离公式中正平方项与负平方项的个数分别为3与1，因此把四维时空记为 $R^{3, 1}$ ，按照这种记法，二维欧氏空间 $R^{2}$ 其实可以看作是 $R^{2, 0}$ 的简写。一般的 $n$ 维闵氏空间就是 $R^{n - 1, 1}$ ，所以四维时空就是一个四维闵氏空间。令 $x^{2} + y^{2} + z^{2} - t^{2} = 0$ ，我们得到一张球锥面，这张锥面上的点相对原点的闵氏距离都是零，它们是分隔类时与类空间隔的界线，这便是相对论中大名鼎鼎的光锥。
这个光锥正是闵氏空间的独有特征，距离平方可正可负导致了时空点两两之间被分为类空、类时、类光三类，使得整个宇宙处于一种割裂的状态。刘慈欣在《三体》中的一段描述可以说是很形象了：

宇宙是一位高位截瘫的病人——因为光速，一直以来宇宙的尺度是一百六十亿光年，还在膨胀中，可光速却只有每秒三十万千米，慢得要死。这意味着，光永远不可能从宇宙的一端传到另一端，由于没有东西能超过光速，那宇宙另一端的信息和作用力也永远不能传到另一端。如果宇宙是一个人，那意味着他没有一个神经信号能够传遍全身，他的大脑不知道其他肢体的存在，这不是截瘫病人是什么？其实我还有一个比这更糟的印象，宇宙在我眼里，已经由所有美和信仰的寄托物变成了一具膨胀的死尸。

值得一提的是，本Blog上之前讨论的四维空间系列都是欧氏的纯空间 $R^{4, 0}$ ，加上时间的四维世界系列则是五维闵氏空间（时空） $R^{4, 1}$ ，注意不要与四维时空 $R^{3, 1}$ 混淆。

四维闵氏空间中，双曲面是最对称的图形，它有什么特别的物理意义吗？如果在双曲面上可以像在球面上密铺得到规则重复的图形，是不是能得到一种时间晶体呢？。时间晶体的定义是一种四维时空中拥有一种周期性的像传统晶体那样的重复性结构。但我想了想只能说从原点出发到达双曲面上的点的粒子自身经历的时间都相同（闵氏距离为定值），除此之外也没什么特别之处，我相信宇宙中不会自然真实存在这样的结构。顺便提一句，之前我们画的各部分既有类时（虚方向）又有类空（实方向）混合起来的那些曲线也是没有什么物理意义的。注意我们以后都用公认的标准术语类空、类时、类光替代之前的临时术语实方向、虚方向、零方向。

三维闵氏空间中的“球”

闵氏空间中的“球”没有物理意义不代表没有数学意义。前面我们看到，二维闵氏空间 $R^{1, 1}$ 的“圆”就是双曲线，那么三维闵氏空间 $R^{2, 1}$ 中的“球”就是双曲面。不同于二维，三维的双曲面有两种情况，一种是单叶双曲面，另一种是双叶双曲面。注意下面关于三维闵氏空间的讨论均假设 $z$ 轴为时间方向， $x$ 、 $y$ 轴为空间方向。

双叶双曲面

双叶双曲面与光锥
$x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 1$ 这个方程是一张双叶双曲面。它可以看作由 $x z$ 平面上的类空的双曲线绕 $z$ 轴旋转而成的，双曲线的两条渐近线旋转后恰好得到圆锥形的光锥。这个双曲面还有什么几何性质呢？在闵氏空间最需要做的就是分辨方向类型。沿双曲面表面到底有哪些类型的方向呢？回顾一下，球面上的切向量一定垂直于半径方向，我们猜测双曲面上也是，只不过这里的“垂直”概念是新的闵氏空间中定义的垂直。两个向量垂直则它们的内积为0。欧氏空间中向量内积定义为 $⟨ (x_{1}, y_{1}, z_{1}), (x_{2}, y_{2}, z_{2}) ⟩ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$ ，闵氏空间中它变成了 $⟨ (x_{1}, y_{1}, z_{1}), (x_{2}, y_{2}, z_{2}) ⟩ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} - z_{1} z_{2}$ 。可以验证与类时向量垂直的向量一定是类空的，而双曲面上的所有切向量都垂直于“半径”方向。这些半径方向（从原点指向双曲面上的一点）都在光锥内，都是类时的虚方向，因此这张双曲面上的所有方向都类空，所有切向量的长度都是正的实数。

选读：注意与类空方向垂直的不一定类时，空间维度大于1维，自然就存在其它互相垂直的空间方向。试想一下，如果时间维大于1了，与它垂直的也就不一定是类时向量了。与类光方向垂直的方向是什么呢？由于类光方向的距离为零，则它跟自己内积为0，按照定义它垂直于自身！

还记得之前介绍双曲空间提到的非欧几里得几何吗？这种不满足平行公设的几何在很长时间中都认为只是逻辑上的诡辩，没有实际几何意义，后面发现球面几何就是非欧几里得几何的第一次具体实践：欧几里得《几何原本》里的抽象的点、直线对应到球面上的点与圆心在球心的大圆。为什么要认为大圆是球面上的“直线”呢？给两条理由：

根据两点之间直线最短，通过复杂的变分法可以计算得到，球面上两点(对径点例外)之间最短的曲线一定是大圆的劣弧。
大圆是一种在球面上最“直”的曲线了，只是因为必须限制在曲面上才不得不随曲面弯曲。

为了区别于真正的直线，把曲面上这种最直的线叫做测地线，可能是因为球面几何诞生于大地测量学这门实际的应用学科吧。
我们不禁要问，球面上测地线是大圆，双曲面上的测地线是什么呢？答案是：大双曲线！想象一下，在 $(0, 0, 1)$ 这个点上，往 $x$ 轴方向与 $z$ 轴方向的测地线会是什么？按照球面直线的逻辑，它至少是局部最笔直的线，因此有理由相信这些测地线为平面 $x z$ 、平面 $y z$ 与双曲面的交线，这条交线还真是双曲线。双曲面的z轴是一条旋转对称轴，可以想象所有过 $z$ 轴平面截双曲面得到的双曲线都是最直的测地线。如果点在任意位置上呢？我们可以通过以原点为中心的双曲旋转把它从 $z$ 轴旋转过去。注意双曲旋转是线性的，因此原来过原点的平面旋转后还是过原点的平面，所以双曲面上的所有直线都是是过原点的平面截双曲面得到的“大双曲线”，而球面上的直线是大圆，大圆是过球心的平面截球面得到的。看，球与双曲面之间一切都是多么的相似！
注意，由于这个双曲面上丢掉了类时方向和类光方向，它本质就是类似球面的弯曲的纯空间几何（纯空间指局部看起来很像 $R^{2, 0}$ ），称为双曲空间。双曲几何和球面几何非常像，通过类似球极投影的方法完全可以在二维空间中画出这个空间来（投影后得到著名的庞加莱共形圆盘模型）。很早我就在《双曲空间——数学艺术》里写过它。它有个跟球面相反的性质：球面上过一点能做0条与直线平行的直线，双曲面上则是无数条！我们可以试着用平面切一下！
过定点可做不只一条平行于红色直线的直线（两条蓝线）
我们不再详述这个空间的其它性质，闵氏空间中还有更多几何在等着我们。

单叶双曲面

单叶双曲面是一种时空的几何——它有类时、类空、类光方向

x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1

这个方程是一张单叶双曲面，与双叶双曲面的区别在等式右边的符号。它也可以看作由

x z

平面上的类时双曲线绕

z

轴旋转而成的。双曲线的两条渐近线旋转后也恰好得到圆锥形的光锥。单叶双曲面跟双叶双曲面的性质就不太一样了。上图中选定点

(1, 0, 0)

，我们可以往

y

、

z

两个方向走。显然，这两个方向一个类空一个类时，因此单叶双曲面上的空间仍然是一种时空，即它局部看起来像

R^{1, 1}

。不难想象，给出任意一点，我们还是可以在双曲面上做出过该点的光锥。其实它是一种常曲率的弯曲时空，这些东西对科学家研究广义相对论中宇宙整体结构有些帮助。

既然这是一种时空，那么在时空中就应该能建立起一套参考系对整个时空进行观察。比如以点 $(0, 1, 0)$ 为例，可以按 $x$ 轴为空间轴， $z$ 轴为时间轴建立一个局部时空坐标系，规定了空间轴其实就规定了“等时”线。注意时间轴是无限长的双曲线，但空间轴却是有限的圆周，因此我们可以认为这是一个在空间上是一维的形状是封闭圆周的宇宙！观察者自认为的静止状态则是沿着时间轴移动。在平直的闵氏时空，随着时间推移，观察者的时空坐标系整体沿着时间轴平移，但到了这里，在曲面上沿着时间轴平移其实对应双曲旋转。为什么呢？想一下球面几何：在球面上平移图形其实相当于在绕球心旋转图形，所以就不难理解双曲面上也是旋转。这个双曲旋转将把原来的空间轴那个圆周旋转成长长的椭圆形（注意只是看起来变长了，实际的闵氏距离没变）。三维旋转是有旋转轴的，闵氏空间中也不例外，因此我们看到这些空间坐标轴被平移后不再平行，反而都交于过旋转轴的那个点！并且随着观察者不断远离，最终这个椭圆将看起来贴近旋转轴那个点出发的类光测地线。一个诡异的事发生了：在这个时空中的静止的观察者看来，随着时间流逝，离自己特定空间距离上的点的时间却始终不走，时间静止了？其实这只是我们人为建立的坐标系带来的效应，事实上，那个点处于所有时间轴上的点发出的光锥之外，因此该点永远不会与观察者有任何因果联系，没有任何实际的物理效应。
观察者的随时间流逝的一系列等时线将交于一点
这个现象并不神秘，类似球面的测地线，这里原本该平行的两条空间方向测地线最后却相交，多出来一个角度（这是个双曲角哦）这种效应其实正是这个时空曲率存在的证据！
可能还有一个让人疑惑的地方就是，看起来上图中观察者此刻看到的宇宙大小是最小的，因为红色的等时线此时正好缠绕在整个双曲面最细的地方。然而随着时间流逝，我们对宇宙空间的认知是上图画的逐渐被拉长且始终过定点的椭圆，而不是下图变大的圆周纬线网格线，所以任何时候宇宙的大小都没变。但从某种意义上这个宇宙确实在膨胀：两根相邻的经线表示两个隔了一段距离的此刻均静止的观察者的世界线。随时间流逝，它们之间的空间距离将会增大，它们之间夹的那段纬线圈的长度将随时间指数级增长（其实是双曲余弦）。注意这些纬线圆的圆心不在原点，不是测地线，测地线才能用来衡量“距离”，它只是跟测地线比较接近，增长趋势也一样。想想球面几何上的类似场景吧：经线之间的纬线段往北极走越来越小，虽然不是测地线，但经线之间的距离（用测地线衡量）确实缩小了。这种导致测地线初始平行，后面却分道扬镳的现象还是来自时空曲率效应。

局部坐标系上的等时线（纬线）、等位置线（经线）网格，红绿线为双曲面上的类光测地线，它在三维空间中恰好也是直线
好了，三维闵氏空间中的“球”就这单叶、双叶两种。要搞清楚真实宇宙的几何，三维时空是不够的。真实宇宙是四维时空。如果我们要寻找弯曲的时空模型就需要考虑五维维闵氏空间中的“球”！

德西特/反德西特时空

或许大家听说过关于宇宙形状的研究。这里的形状其实就是指曲率。怎么知道宇宙的曲率呢？科学家通过技术手段测量我们和一些遥远星系之间的角度，根据三角形内角和与180度的大小关系来判断曲率。实验显示，在我们能达到的测量范围内看来我们的宇宙是非常平坦的，因此对应四维闵氏时空。如果宇宙有曲率会怎样呢？于是诞生了这两个时空模型：

德西特时空（de Sitter space）是四维常曲率时空，曲率为正，且宇宙是封闭的，空间体积有限；
反德西特时空（Anti-de Sitter space）是四维常曲率时空，曲率为负，且宇宙在空间与时间上均无限；

下面尝试在五维空间中来构造它们。

德西特时空

首先我们想到的就是从五维闵氏空间 $R^{4, 1}$ 开始构造。即在度量 $d s^{2} = d x^{2} + d y^{2} + d z^{2} + d w^{2} - d t^{2}$ 下的双曲面。如果选择双叶 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} - t^{2} = - 1$ 我们将得到四维的纯几何的双曲空间 $H^{4}$ ，不再是时空。

如果选择单叶 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} - t^{2} = 1$ 我们确实得到了一种四维时空。令 $t = 0$ ，得到此刻的空间为 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 1$ ，是一个三维球面，说明在空间上这是个封闭的三维宇宙，且空间体积有限，它就是有着正曲率的四维德西特时空，其实我们之前已经在单叶双曲面上展示过了二维的德西特时空，因此我们不再展开描述它的性质；

不知有没有人跟我一样开始会产生这样的怀疑：球面宇宙的时空最容易想到的模型难道不是以超球面 $S^{3}$ 为底，时间轴为高的超球柱面 $S^{3} \times R$ 吗？为什么时间必须随空间一起弯曲呢？答案很简单：这样的宇宙中存在特殊的静止参考系，即以超球柱面高的方向为时间轴的参考系。若只考虑牛顿力学的话则可忽略时间方向上的弯曲。

总结一下， $R^{4, 1}$ 中能够构造的常曲率空间就四维双曲空间跟四维德西特时空这两个：

从五维闵氏空间到双叶双曲面丢掉了一个时间维度方向，于是剩下四个空间维；
从五维闵氏空间到单叶双曲面丢掉了一个空间维度方向，于是剩下三个空间维加一个时间维；

反德西特时空

怎样构造反德西特时空？我们看到这些常曲率空间的构造方法都是在高一维空间中丢掉一维得到的。逆过来看，给3+1维时空添加的一维如果是空间维就得到4+1维时空，添加的是时间维则是3+2维时空！设想有一种3维空间+2维时间的空间，只要方法得当压缩掉一维时间就同样能得到3+1维时空！虽然二维时间在物理上听起来不可思议，但在数学上却只是变个符号的问题。 $R^{3, 2}$ 空间是指这样度量长度的空间： $d s^{2} = d x^{2} + d y^{2} + d z^{2} - d w^{2} - d t^{2}$ 我们可以按同样的符号构造一个四维广义双曲超曲面，等式右边的符号使我们同样面临类似单叶、双叶的选择。具体怎么判断呢？答案是：看它是否跟特定坐标轴相交。

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - w^{2} - t^{2} = 1$ 先看这个双曲超曲面，根据平方的非负性可知，它跟所有空间轴（ $x$ 、 $y$ 、 $z$ 轴）有交点，跟所有时间轴（ $w$ 、 $t$ 轴）无交点。拿 $x$ 轴为例，交点附近的超曲面上的切空间方向应该有除了 $x$ 方向外的所有方向，即有 $y$ 、 $z$ 两个空间方向和 $w$ 、 $t$ 两个时间方向。可见我们选错了，并不经意间得到了一种常曲率的二维空间+二维时间的怪异空间。
$x^{2} + y^{2} + z^{2} - w^{2} - t^{2} = - 1$ 同理可以验证它确实是3+1维时空，看来这就是正确的选择了。令 $t = 0$ ，得到 $x^{2} + y^{2} + z^{2} - w^{2} = - 1$ ，它的空间形状是四维闵氏空间中的一个负常曲率的三维双曲空间，因此它确实是反德西特时空。

其实构造反德西特时空还有一个小细节：超曲面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} - w^{2} - t^{2} = - 1$ 跟类时的坐标轴有交点，不妨选择与 $w$ 轴的交点，则时空中该点附近有所有空间方向与另一个时间方向 $t$ ，我们可以做出一条沿 $t$ 轴方向的类时测地线。既然是测地线，它就应该是过原点的平面截来的。该平面还要同时平行于 $w$ 轴与 $t$ 轴，因此就是 $w t$ 坐标面本身。代入到双曲超曲面方程，令所有空间坐标为0就得到这条类时测地线的方程： $w^{2} + t^{2} = 1$ ，这是一个圆！在物理系统中存在着闭合类时线非常糟糕！它表示粒子随时间流逝自动回到自己的过去，并成为过去的自己，会带来一大堆悖论。我们看看二维的反德西特时空可以说得直观明白些。

二维反德西特时空

二维反德西特时空是1+1维的，因此可通过构造1+2维空间中的双曲面降维得到。 $R^{1, 2}$ 的度量为 $d s^{2} = d x^{2} - d y^{2} - d z^{2}$ ，这个空间中的单叶双曲面 $x^{2} - y^{2} - z^{2} = - 1$ 就是二维反德西特时空。

可能大家注意了这与二维德西特时空是一样的： $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ 等式两边同时取反就变成了 $z^{2} - x^{2} - y^{2} = - 1$ ，只是轮换了一下字母。一般来说p+q维空间与q+p维空间有一种奇妙的对称关系：它们之间可以把所有时间与空间方向互换。不难验证，把二维德西特时空的时间与空间互换就得到了二维反德西特时空，原来空间上人畜无害的一维封闭宇宙现在却变成了时间上对物理学有灾难性的闭合曲线。
二维反德西特时空与德西特时空的唯一区别为交换了时间与空间轴

怎样避免这个问题呢？其实我们只关心宇宙的曲率，双曲面模型也只对应负曲率宇宙，并不对应整体拓扑结构。由于圆周不是单连通的图形，我们可以通过拓扑学上的覆盖空间来构造一个更大的单连通空间，得到没有闭合类时线的在时间、空间上都无限大的宇宙！直观上来说就是强行认为绕一周后来到的是一个跟原来时空不同的全新世界，可更形象化理解为一个双曲形状的卫生卷纸，具体关于覆盖空间的概念可以参考这里。这个方法可以处理任意维的反德西特时空的闭合类时线问题。
单叶双曲面的覆盖空间
最后，由于交换了时间空间，之前德西特时空中本来平行却相交的类空测地线这里却是类时测地线（就是那些椭圆），说明反德西特时空的宇宙有收缩的趋势，恰好与德西特时空的宇宙膨胀相反。

内禀几何曲率简介

我们看到，虽然闵可夫斯基空间就是我们熟悉的时空，但从它可以派生出很多有意思的几何。闵氏空间中的“球”，即双曲面有的是纯空间，有的是时空，它们都是常曲率空间。曲率到底是什么呢？

外曲率

曲率字面上是弯曲程度，即偏离直线平面这些线性空间的程度。的确，曲线的曲率就是这么一回事。而平面、超曲面等高维图形上的方向就很多了，不同方向上弯曲的程度一般来说是不一样的，因此曲率不再是一个数，变成了复杂的张量。例如平面上所有方向曲率都为0，柱面上有一个零曲率方向，球面上所有方向曲率相同。这是从最直观的几何意义上得到的曲率的概念。下面整点抽象的。

内蕴几何与内禀曲率

考虑所有三维空间中的旋转组成的状态空间 $M$ 。你可以认为这个空间上每一个点都代表着物体的一种旋转后的朝向状态。我们知道三维空间中的旋转需要旋转轴与一个角度来描述，因此描述任意旋转需要三个数，说明 $M$ 是某种三维空间。其实四维空间中的超球面可以与空间 $M$ 建立起映射关系。既然超球面有曲率，那么暗示着空间 $M$ 也有。如何计算空间 $M$ 上的曲率呢？如果按照偏离平面的定义，我们的点就会从超球面上跑到四维空间去，但对于空间 $M$ 来说，有意义的点都在超球面上，外空间中的点是没意义的。这说明有意义的曲率效应该完全只跟“内部距离”有关。比如我们可定义从一个朝向旋转到另一个朝向需要的最小角度作为 $M$ 上的距离定义。虽然可证这种距离跟通常的超球面距离是等价的，但这启发我们完全可以不依耐高维的四维空间直接在三维的超球面弯曲空间内部通过一些几何效应来测量曲率。这样得到的曲率叫内禀曲率。

还是拿平面、柱面、球面来说，假设平面的材质是不可伸缩的没弹性的纸做的，我们可以将它卷成圆柱面，整个过程中纸张表面上任意点之间的距离是不变的，因此内部的几何没发生变化，都为0。而球面由于存在大于180度的三角形，因此肯定是有内禀曲率的。其实很多微分几何教材都是不假设有外空间存在的，比如球面几何可以完全采用经纬度两个坐标 $(x, y)$ 来表示与计算，只是度量变成了 $d s^{2} = d x^{2} + \sin^{2} (x) d y^{2}$ 。如果不知道它与三维空间中的球面的联系，直接从度量出发计算测地线是一件很麻烦的事！但不得不承认这才是通用方法，因为不是每次都能找到合适的能简化计算的外空间。

我们为了直观理解这些常曲率空间的几何性质，刚才都是把它们像球面那样放到高一维空间中处理的，但其实需要明白的是，就像所有三维旋转组成的空间 $M$ 一样，我们只是借助五维闵氏空间构造四维德西特时空，五维空间本身无物理意义，只有在四维德西特时空上的点才有物理意义。

黎曼曲率张量

内禀曲率在几何上到底体现成什么效应呢？答案是一种被称为和乐（Holonomy）的旋转效应：一个物体沿着某条封闭路径平移一圈后回到原处，它的朝向却发生了变化。球面三角形内角和大于180度也好解释了：本来三角形内角和该是180度，但沿三角形平移一周后却旋转了更多的角度。具体刻画这种性质的手段就是黎曼曲率张量：设想一个无穷小的路径圈，它是 $x$ 、 $y$ 两个向量张成的平行四边形，物体沿圈平移（规定先从 $x$ 向量那条边出发）后也只会进行无穷小的旋转旋转的本质是个线性变换，即给定向量 $u$ ，通过旋转映射到 $v$ 。黎曼曲率张量就是给定 $x$ 、 $y$ 之后，把 $u$ 映射到v的一个线性变换 $v = R (x, y) (u)$ ，整个张量相当于有三个输入加一个输出的线性映射，因此它的抽象张量指标记号为 $R_{a b c}^{d}$ 。

对于各向同性的常曲率空间就简单得多：直观说如果旋转效应与闭合路径的走向一致，则曲率为正，如果相反则为负。如何判断旋转效应与闭合路径的走向呢？这还不简单，直接看就是了！下图展示的是球面、双曲几何的曲率，明显一正一负：
球面（左）、双曲（右）几何的曲率展示
纯空间确实如此，时空呢？下面看看二维德西特与反德西特时空：它们本来就是对称的，所以我干脆没标注时空轴。从图中看来曲率都该是正的，这两个空间曲率不是一正一负吗？
二维德西特与反德西特时空的曲率展示，看起来曲率都为正

问题出在哪呢？肯定是类空类时混合后的某种方向的定义出了问题。

首先看路径部分：我们记 $e_{x y}$ 为沿 $x \to y \to - x \to - y$ 的走过的带方向的平行四边形。注意这个东西其实就是Blog上很早讲过的2-向量。如果不小心交换了平行四边形的两条边，代表的路径方向就会倒过来，即 $e_{x y} = - e_{y x}$ ，注意无论 $x$ 、 $y$ 是什么方向这个等式都是成立的。
接着看旋转部分：我们记 $e_{x}^{y}$ 为从 $x$ 到 $y$ 方向的单位速度的旋转。这样写上下标代表这个旋转是输入 $x$ 输出 $y$ 的变换，代表着这个旋转下 $x$ 轴上的点的速度方向是 $y$ 轴。同理 $e_{y}^{x}$ 为从 $y$ 到 $x$ 方向的单位速度的旋转。如果 $x$ 与 $y$ 方向的性质相同，则就是普通旋转，这两个旋转方向相反，有 $e_{x}^{y} = - e_{y}^{x}$ ；如果 $x$ 与 $y$ 方向的性质不同，则其实是双曲旋转，这两个方向是相同的，有 $e_{x}^{y} = e_{y}^{x}$ ！

双曲旋转与正常旋转交换坐标顺序的区别把一个向量映射到另一个向量的映射可以自然看成把一个向量和一个对偶向量映射成数的映射，形象解释可参考脑洞《参观无限大养猪场》。根据对偶空间的相关理论，我们需要将上下标统一，要想将上标拉下来就必须用到空间的度量，具体体现在把上标拉下来时，类空向量不变，类时向量符号会反号。举两个例子：

纯空间方向的旋转有 $e_{x}^{y} = - e_{y}^{x}$ ，将指标全变下标则为 $e_{x y} = - e_{y x}$ ，跟路径的那个反对称式子相同。
设 $x$ 类空， $y$ 类时，则双曲旋转满足 $e_{x}^{y} = e_{y}^{x}$ ，将指标全变下标则为 $- e_{x y} = e_{y x}$ ，还是跟路径的那个反对称式子相同。

这就统一了。

回到曲率计算中来。我们从图上看到的方向都是普通1-向量 $e_{x}$ 、 $e_{y}$ ，但旋转中实际需要它的对偶向量 $e^{x}$ 、 $e^{y}$ 。当交换二维常曲率时空的时间、空间方向时，这里拉上下标的向量性质也就变了，导致一个变号一个不变号。

是不是觉得相当麻烦？其实还有更简单的判断曲率符号的方法（只适用于这些常曲率空间，没普适性）。写出曲面方程，保证空间平方项的系数为正，直接看等式右边，如果为 $1$ 曲率就为正，为 $- 1$ 曲率就为负。（证明留作习题）这也解释了为什么负常曲率的空间只出现在闵氏空间中，因为欧式空间半径平方为负数的球不存在，但闵氏空间的“球”（双曲面）却可以有负的“半径平方”。

各种空间总结

说了这么多的空间，我们列张表总结一下作为本文的结束吧：

空间名称	符号	曲率	性质	构造方法
欧氏	$R^{n}$	0	纯空间	勾股定理
闵氏	$R^{n - 1, 1}$	0	时空	另一种勾股定理
球面	$S^{n}$	正	纯空间	$R^{n + 1}$ 中的球面
双曲	$H^{n}$	负	纯空间	$R^{n, 1}$ 中的双叶双曲面
德西特	${d S}^{n}$	正	时空	$R^{n, 1}$ 中的单叶双曲面
反德西特	${a d S}^{n}$	负	时空	$R^{n - 1, 2}$ 中的双曲超曲面