这次来看看超球面上的驻波模式——超球谐函数。它们是超球面上拉普拉斯方程的解，跟可能的四维原子的波函数形状有关，亦可通过“超球谐光照”算法加速四维光线跟踪渲染。或许读者已经了解过球面上的球谐函数，本文将尽量避开繁复的表达式，从新的角度理解它们。

上篇文章介绍了命题逻辑、一阶逻辑再到ZFC集合论，本文来看一种新的宣称想要取代集合论在数学中地位的新东西——类型论。事实上它已经广泛运用在机器证明当中，其中最著名的就是四色定理的证明了，同时它跟程序代码很类似。把类型论稍加改造成同伦类型论，它还能比集合论更加“直接”地处理拓扑学中的许多问题。

本文总结了常见的四维几何图形数据生成算法，包括锥化/柱化/直积形生成、参数曲胞生成、正多胞体及其衍生物生成、胞腔复形的定向处理以及四面体剖分问题。

数学有别于其它学科最重要就是严谨，复杂证明容易出错。 在计算机发明前就有人提出形式系统，用于规范证明,我将从简单的形式系统讲起，介绍命题逻辑到ZFC集合论。 我还边做边学做了网页模拟器，后来改成了游戏“Deductrium”。

大数数学研究如何描述尽可能大的数字。序数是介于有限的自然数与绝对无穷大之间的东西，是自然数的扩展。很久前我就听说过序数，但我总觉得这些超越无穷的东西很虚，当时也没兴趣深入了解它，去年 CFY 突然对“大数数学”与“序数”产生兴趣，还安利了个“序数增量”游戏 Ordinal Markup 给我，后来我才发现这个东西比想象中更有意思。

一个前苏联的宇航员在太空中把弄一个T字形零件，他偶然发现让零件漂浮着快速旋转起来，零件的旋转方向却突然时不时在空中翻转，后来就以他的名字(Джанибеков)命名了贾尼别科夫效应。本文将其推广到四维世界，探讨多体系统中的角动量交换、随机分布规律及四维刚体的主轴定理。

本文综述了实现旋转这一基础变换的多种算法，包括三维四元数与四维旋量的计算方法、几何代数对比，以及各种 lookAt 算法与四维相机控制方式。内容偏重理论推导因此略显枯燥，适合有一定数学基础的读者，实用教程将在后续 Tesserxel4D 系列中展开。

之前的文章几乎涵盖了目前常见的四维可视化方法，但如何用计算机程序实现这些展示依然很有挑战。这次先简要介绍三维计算机图形学基础，并重点介绍四维体素和截面渲染技术，包括四面体法、胞腔复形法、体素云渲染算法，同时还介绍了四维路径追踪以及线框渲染的遮挡剔除算法。