内容概要
引子
首先来看个简单的三维问夹角范围问题：
已知A、B两向量夹角为$\alpha$，B、C两向量夹角为$\beta$，求A、C之间的夹角$\gamma$的取值范围。
这个问题用几何法很简单：向量夹角对应到单位球面三角形边长，由两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，共线能取到等号，因此最终$\gamma$取值范围为闭区间$[|\alpha-\beta|,|\alpha+\beta|]$。
四维空间中描述两平面之间的位置关系需要两个角度来表示，因此问题变成：
已知A、B两平面夹角为$\alpha_1$和$\alpha_2$，B、C两平面夹角为$\beta_1$和$\beta_2$，求A、C平面之间的两夹角$\gamma_1$与$\gamma_2$的取值范围。
可惜我们对平面之间的夹角一点几何直觉都没有，那些只相交于一点的平面已经够难以理解的了，很难想象怎样用几何法解决这个问题。下面我们将借助代数的力量，把平面从四维几何空间中抽离出来放在几何性质更好的状态空间中来解决问题。
平面状态空间的定义
我们来想一个问题：四维空间中所有过原点的平面的集合构成了一个什么样的空间呢？这个空间中每个点都代表一张平面，空间维数为4，可以用多个方法推导出。（点此展开/收起推导方法）
这是一种弯曲封闭的四维空间，如何展示呢？2-向量有六个分量，设其大小为1，则这个空间至少在六维空间的五维单位超球面上。然而联立简单2-向量的条件$af-be+cd=0$(用$a$到$f$六个字母表示6个分量)，我们根本无法看出其具体形状。
对偶分解
我在《四维空间（七）：N维的向量》中介绍过2-向量的对偶分解，即不用通常的6个坐标2-向量基底$e_{xy}$、$e_{xz}$、$e_{xw}$、$e_{yz}$、$e_{yw}$、$e_{zw}$，而是使用6个对偶坐标基底表示平面。这些基底可分成两组，第一组为自对偶基底：$(e_{xy}+e_{zw})/\sqrt{2}$、$(e_{xz}-e_{yw})/\sqrt{2}$、$(e_{xw}+e_{yz})/\sqrt{2}$，第二组为反自对偶基底：$(e_{xy}-e_{zw})/\sqrt{2}$、$(e_{xz}+e_{yw})/\sqrt{2}$、$(e_{xw}-e_{yz})/\sqrt{2}$。这样任意给一个2-向量都能分解成各自含有三个分量的自对偶部分和反自对偶部分，很容易验证这两部分之间的内外积都为0，且如果我们再次使用霍奇对偶把4-向量$F\wedge G$映射成标量，则对于自对偶分量其内外积相等，反自对偶分量其内外积相反。我们记一个2-向量$F$的自对偶、反自对偶部分为$F^+$和$F^-$，两个2-向量的内积$$F\cdot G=(F^+ + F^-)\cdot (G^+ + G^-)=F^+\cdot G^+ + F^-\cdot G^-$$同理外积则是$$F\wedge G=F^+\wedge G^+ + F^-\wedge G^-=(F^+\cdot G^+ - F^-\cdot G^-)e_{xyzw}$$（注：后面我们计算两2-向量外积后都将默认取霍奇对偶消掉体元$e_{xyzw}$只留下前面的系数，变成标量）
能表示平面的简单2-向量$F$的自身的外积为零，可以得到其自对偶分量的大小等于反自对偶分量的大小：$F^+\cdot F^+=F^-\cdot F^-$。由于我们感兴趣的是平面，其绝对大小无关紧要，可以规定这两个分量的大小均为1，这样自对偶/反自对偶的三个分量就各自对应到两个三维空间中的球面之上，所有定向平面的状态空间就是这两个球面的直积$\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^2$（这个东西可以看作六维空间中的双球柱的四维棱）。直积是整个状态空间，空间里的每个点都是在左右两个球面各选取一个点形成的有序对。为什么要加定向这个词呢？因为$e_{xy}$跟$-e_{xy}$在$\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^2$中是不同的点，但它们代表同一平面。因此真正的平面状态空间还要商掉$-1$这个因子。（记作$(\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^2)/\mathbb{Z}_2$）下面给出了一些例子：
可以看出如果同时将左右球面上的点换成对径点，则代表同一平面但定向相反，如果只将一个球面上的点换成对径点，则新平面与原来平面绝对垂直。
平面之间的夹角推导
平面夹角问题转换到这个状态空间中会变得清晰：我们很早就推导过通过内外积求两平面F与G的夹角，公式为$$\lvert \cos\theta_1\cos\theta_2\rvert={\lvert F\cdot G\rvert \over \lVert F \rVert \lVert G \rVert} $$$$ \lvert \sin\theta_1\sin\theta_2\rvert={\lvert F\wedge G\rvert\over \lVert F \rVert \lVert G \rVert}$$上面的那些绝对值很讨厌。其实去掉绝对值直接带着所有正负号参与代数运算，还能顺便把2-向量的方向与平面手性都算进去，因此从此开始我们既不要绝对值又不限制夹角的取值范围。且如果假设两平面的自对偶与反自对偶分量大小都是1，则$\lVert F \rVert=\lVert G \rVert=\sqrt{2}$，再把平面间的内外积改写成自对偶与反自对偶分量的内积形式，可得下式：$$2\cos\theta_1\cos\theta_2=F^+\cdot G^+ + F^-\cdot G^- $$$$ 2\sin\theta_1\sin\theta_2= F^+\cdot G^+ - F^-\cdot G^-$$将这两个式子分别相加和相减，运用和差角公式后得到$$\cos(\theta_1-\theta_2)=F^+\cdot G^+$$$$ \cos(\theta_1+\theta_2)=F^-\cdot G^-$$我们迎来了平面状态空间中最重要的一个几何意义：
两平面自对偶分量之间的夹角为两平面的两夹角之差，反自对偶分量之间的夹角为两平面的两夹角之和。
平面夹角特殊情况
下面列出一些特殊平面的位置关系：
- 重合：$\theta_1=\theta_2=0$（2-向量方向相同）或$\theta_1=0$，$\theta_2=\pi$（2-向量方向相反）。
- 左手等角：$\theta_1=\theta_2=a$，其特点是$\theta_1+\theta_2=2a$，$\theta_1-\theta_2=0$。
- 右手等角：$\theta_1=-\theta_2=a$，其特点是$\theta_1+\theta_2=0$，$\theta_1-\theta_2=2a$。
- 半平行：$\theta_1>0$，$\theta_2=0$。半平行的特点是$\theta_1+\theta_2=\theta_1-\theta_2$。
- 半垂直：$0<\theta_1<\pi/2$，$\theta_2=\pi/2$。半垂直的特点是$(\theta_1+\theta_2)+(\theta_1-\theta_2)=\pi/2$。
- 绝对垂直：$\theta_1=\theta_2=\pi/2$。
在平面状态空间中，这些抽象的夹角被转换到了两张球面上的两个直观的弧长。很多原来看似神秘的结论现在都能秒答，比如同手性等角平面关系有传递性：同手性等角平面说明它们在某一个球面上的点是重合的，点之间的重合关系是等价关系，自然有传递性。然而不同手性的等角平面没有传递性，观察下图则两种情况一目了然：
再比如，我们在《四维空间（四）：纤维与超球》中讲到了Hopf纤维丛的正交性：当时我给出了三个不同朝向的Hopf纤维丛，并指出超球面上的每一点都有三圆周垂直相交。
这个结论可以进一步推广：两个不同取向的同手性等角平面簇交超球得到两簇纤维圆周，这两簇圆周在超球面上每一点相交的夹角均相等。我们马上证明该结论：不妨设两个等角平面簇都是左等角，则它们的反自对偶分量可以随便取，自对偶分量是两个固定的不同的值。两个圆周要相交，就说明它们所在的平面是半平行的，此时就必有它们在左右球面上的夹角相等且等于圆周小角的夹角。很明显左边球面上的夹角固定死了，因此相交的圆周夹角只能都等于左边自对偶分量的夹角值。
但要注意的是这些角度都是代数值，允许为负数或大于锐角，因此以上讨论不太严谨，无法处理所有平面间的夹角范围情况。下面先来看看这些角度取到锐角外的含义。
拓展夹角取值
如果我们将去掉绝对值的内外积成与夹角关系的式子作为两2-向量间拓展夹角的定义，则可以得到这样一张图：（其实之前在四维磁场受力分析中首先提到过）
虽然两个夹角可以取任意实数，但由于$\theta_1$与$\theta_2$地位的对称性和三角函数的周期性，只有阴影区域才是有意义基本区域，其它区域表示的平面间位置关系都跟基本区域中的情况有重复。比如当$\theta_2>\theta_1$时，我们可以交换两个角度的定义约化到$\theta_1>\theta_2$的情况，这体现在下图中的扩展区域关于标有左等角的$\theta_1=\theta_2$的斜线对称。同理，对于所有标有等角的斜线，都有关于它们的反射对称性。
注：两2-向量的内外积同号则定义为右手，异号为左手，可验证该定义与平面的2-向量选取无关，手性是平面间的固有几何性质。
本文主要关心平面间的位置关系，即忽略2-向量的定向信息但保留平面间的手性信息——当$\theta_1>90°$时意味着我们可以将其中一个2-向量反向，从而将角度重新变为锐角，对应到图上就是把菱形右半部分绕中心旋转半圈到左半部分，这包括要将重合与反向重合视为同一点、将自对偶与反自对偶也视为同一点，且原来菱形的两条右等角对边上的点、两条左等角对边上的点也要等同。如果允许四维图形在更高维的空间翻转让左手右手重合不区分手性，则状态空间的基本空间就再减半，只剩下一个直角三角形了。
解平面夹角范围问题
下面再看一开始的问题：
已知A、B两平面夹角为$\alpha_1$和$\alpha_2$，B、C两平面夹角为$\beta_1$和$\beta_2$，求A、C平面之间的两夹角$\gamma_1$与$\gamma_2$的取值范围。
将原来的两个角度相加减，得到自对偶与反自对偶空间两球面上的夹角，这两个空间是解耦的，互不干扰，设大的角编号为1，小的角为2，则两角的和差都大于零，可以构成合法的球面三角形或共线的线段长度，因而得到：$$|(\alpha_1-\alpha_2)-(\beta_1-\beta_2)| \le \gamma_1-\gamma_2 \le (\alpha_1-\alpha_2)+(\beta_1-\beta_2)$$$$|(\alpha_1+\alpha_2)-(\beta_1+\beta_2)| \le \gamma_1+\gamma_2 \le (\alpha_1+\alpha_2)+(\beta_1+\beta_2)$$
在平面的夹角$\gamma_1$、$\gamma_2$的空间中画出这个范围，很明显是个菱形区域，然而我们还要考虑范围超出平面夹角基本区域（粗线深灰色三角形）的处理方法——使用180度旋转，最后的答案只取基本区域中的所有黄色部分。如果取值范围超出了2-向量的大菱形基本区域，看似因为关于等角平面斜线的反射回来一定还是会落在原来黄色区域内，不会增加新的区域（提示：可从两角和的最大取值范围入手来证明），可以直接丢弃，然而这将导致球面三角形的某边长超过$\pi$，但球面上两点距离是不可能大于$\pi$的。这种情况下我们必须选取另一边的劣弧来构造球面三角形，最终体现为当角度超出菱形区域时，不是简单翻转整个区域，而是只翻转边界。
注：我们姑且认为题目中已经将平面的手性信息写入了相应角度的正负号中。如果确实未指明手性，也可以代入两种手性的角度值计算，最后的结果取两种情况的并集。
下面给一个具体数值的题。
平面A与B夹30度、75度，平面B与C夹16度、7度，且两平面A、B的手性与两平面B、C的手性相反。求平面A、C的夹角与手性的取值范围。
根据题目定向相反的条件，设$$\alpha_1=75°,\alpha_2=30°$$$$\beta_1=16°,\beta_2=-7°$$则$$\alpha_1+\alpha_2=105°,\alpha_1-\alpha_2=45°$$$$\beta_1+\beta_2=9°,\beta_1-\beta_2=23°$$因为所有角度都没超过180°，则可直接根据球面三角形范围公式得到：$$22°=45°-23° \le \gamma_1-\gamma_2 \le 45°+23°=68°$$$$96°=105°-9° \le \gamma_1+\gamma_2 \le 105°+9°=114°$$我们得到四条边界直线的方程。计算其坐标可知平面夹角大部分与AB平面的手性相同，与BC平面的手性相反，但在一个小角的范围内其夹角是与BC平面的手性相同，与AB平面的手性相反，可以试着使用下面的仿真小程序观察这两个手性相反的区域。
随机仿真小程序
这里是我通过随机蒙特卡洛采样来验证两2-向量（即带方向的平面）夹角取值范围的小程序：先通过固定的公式生成A、B两平面让其夹角为$\alpha_1$和$\alpha_2$，再生成C、D两平面夹角为$\beta_1$和$\beta_2$。随后我们对CD施加非常多次随机的旋转，最后使用这篇文章中的LookAt算法将平面B与C对齐，这样我们就得到了既满足题目夹角约束条件，但方向又完全随机的许许多多的样本了。
操作方法很简单：要么输入角度值，要么在图中拖动相应的点，观察黄色的样本点分布即可。
有难度的思考题
我来给大家留一道不太一样的有点难度的思考题，答案下期揭晓：每个球面上只选取穿过坐标轴的6个点，这样两边组合下来共有6x6=36种，但因重复算了定向，真正只有18种不同的平面。把这些平面放在原点跟单位超球面相交得到18个圆周，这些圆周组成的图形具有什么样的对称性呢？它能否看作某个多胞体的球极投影呢？每个球面上坐标轴上的点其实组成的是正八面体的顶点。如果每个球面上选择其它正多面体的顶点再两两组合出所有过原点的平面，它们在超球面上的交圆又有什么对称性呢？（包括刚才的正八面体，一共有$5\times 5=25$种情况，排除手性异构还有15种情况）
未完待续
这篇文章探究了平面之间夹角的传递性，后面我们将探究怎样在平面状态空间中表示出直线与胞，以及解决平面跟直线或胞之间夹角传递性问题。有兴趣的读者可以先自行思考一下。