二维时间世界

// 注1：本文为作者自行想象构造的一种虚构的物理空间，漏洞百出，仅供娱乐，请勿当真。

// 注2：本文的二维时间是各向同性的，不同于Greg Egan的《Dichronauts》的二维时间设定，我们下次再探讨那种二维时间世界。

// 注3：本文中某些章节可能充斥着难懂的公式，我将它们标注了选读和颜色，不想看可直接跳过它们。

什么是二维时间观

这篇文章我们来想象一个拥有二维时间的宇宙是什么样子。对于我们的线性时空观来说，我们认为一个“活”的宇宙需要随一个参数变化，但从时空的观念上，一个时空中只要把所有粒子的时间轨迹（叫做粒子的世界线）都画出来了，演化就定死了，所以时间只是一种主观上的东西。而在二维时空中，粒子不再有世界线而是世界面——每个粒子在时空中的运动轨迹变成了一张二维曲面。二维时空在我们眼里就是满足物理方程后解出来的一些“死”的曲面，但那些生物没准会觉得二维时空在面上流逝很自然，也是一种有“动态”的“活”宇宙。如果在那个时空中的居民天生就认为时间是二维的，会发生哪些有趣的事情呢？

二维时间跟我们的一维时间相比最显著的区别是因果律的破坏。只有一维的时空才能自然定义事件发生的先后顺序关系，而二维的时空观下顺序关系不复存在，不再有严格的过去与未来之分。可能大家会说：二维的时间意味着我们可以在粒子的世界面上转圈，这就像你在未来把一个神奇的物体通过时光机带了回来，于是时空中才有了这个东西一样无中生有！其实这种观念是一维时间观的片面思想——对于二维时间中的生物来说，时间是浑然一体的，不允许代入我们的时空观理解。他们的演化不是在平面上选取某一条世界线，也不是无穷个世界线构成的“平行宇宙”，而是向着二维时间坐标面的“四面八方”展开。人为选取一条时间线类似于我们认为看三维物体的二维截面那样虽然可行，但不自然。

另一个显著区别是，对于它们来说过去未来的概念甚至不需要，我们连讲述他们世界中的故事都很困难，因为我们的听觉是线性的，而他们的故事线则类似一张地图。你可能会问那他们的“记忆”是什么样的呢，他们能感知整个时空的历史吗？可能读者读完本文后就有答案了。我们先来整理一下这个宇宙中的公理与可能“合理”的物理规律，如果读者对具体的物理细节内容不感兴趣，可跳至小球碰撞模拟小节。

符号约定

本文中不做特殊说明的话，二维时间的时空专指一种三维空间(x/y/z)加二维时间(u/v)得到的五维时空，即有着下面度规的时空： $$\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2 - \mathrm{d}u^2 - \mathrm{d}v^2$$注：这里特地用字母u、v表示二维时间，不再用字母t，以摆脱一维时间观的影响。

质点运动学

正常四维时空（三维空间+一维时间）中，相对参考系静止的粒子的世界线是笔直的平行于时间t轴的直线，均速运动的粒子则是斜线，因此我们假定二维时间时空中，相对参考系静止的粒子的世界面是笔直的平行于时间坐标面uv的平面，均速运动则是倾斜的平面。如何定义粒子的速度呢？正常中学的定义是单位时间内的位移，相对论时空中的定义则是世界线的切向量。这两种定义都能推广到二维时间，我会把后者放在选读当中。

速度

我们的时空中，质点的位置是个三维向量，它是时间的函数，记作 $\vec{\mathbf{r}}(t)$，它对时间参数的变化率自然就是速度，即 $\vec{\mathbf{v}}(t) =\frac{\mathrm{d}\vec{\mathbf{r}}(t)}{\mathrm{d}t}$。二维时间中，质点的位置还是三维向量，但它是时间的二元函数，记作 $\vec{\mathbf{r}}(u,v)$，它的导数就多了：沿不同时间方向的变化率可以不一样，一般来说，我们需要一个矩阵(张量)来表示，即 $$\mathbf{v}(u,v) = (\vec{\mathbf{v}}_u,\vec{\mathbf{v}}_v)= \left( \frac{\partial \vec{\mathbf{r}}}{\partial u},\ \frac{\partial \vec{\mathbf{r}}}{\partial v} \right).$$ 注意 $\vec{\mathbf{r}}$ 本身是个三维的列向量，因此整个是个 $2\times3$ 的矩阵。比如质点匀速运动的运动学方程的通式为 $$\vec{\mathbf{r}}(u,v) = (\mathrm{v}_{xu} u + \mathrm{v}_{xv} v, \mathrm{v}_{yu} u + \mathrm{v}_{yv} v, \mathrm{v}_{zu} u + \mathrm{v}_{zv} v)$$质点的速度恒为：$$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} \mathrm{v}_{xu} & \mathrm{v}_{xv} \\ \mathrm{v}_{yu} & \mathrm{v}_{yv} \\ \mathrm{v}_{zu} & \mathrm{v}_{zv} \end{pmatrix}$$
类似地，加速度是个 $2\times2\times3$ 的高阶张量，我们将在下节介绍。

选读：2-向量版速度

下面我们从时空中的世界面的角度再来看看质点速度问题。
我们的牛顿力学中，速度可以看做是把世界线的切向量缩放到时间分量为1时的空间分量部分，这其实跟单位时间的位移的描述等价。二维时间中，世界面在某点处不再是切向量，而是一种二维面状的2-向量，如果读者不清楚这种向量可以参考《四维空间（七）：N维的向量》。具体来说，这是一个五维时空中的切平面2-向量，它可能有这些分量：$e_x\wedge e_y$、$e_x\wedge e_z$、$e_x\wedge e_u$、$e_x\wedge e_v$、$e_y\wedge e_z$、$e_y\wedge e_u$、$e_y\wedge e_v$、$e_z\wedge e_u$、$e_z\wedge e_v$、$e_u\wedge e_v$。在不考虑相对论的低速近似下，将纯时间分量$e_u\wedge e_v$的系数缩放到单位1，则其它分量就描述了质点的速度。我们可以具体来计算一下 $\mathbf{v}(u,v)=(\vec{\mathbf{v}}_u,\vec{\mathbf{v}}_v)$ 的2-向量版的速度。根据定义，显然这个2-向量由 $\mathbf{T}_u = (\vec{\mathbf{v}}_u,\ 1,\ 0)$、$\mathbf{T}_v = (\vec{\mathbf{v}}_v,\ 0,\ 1)$两个向量张成，它们做外积就能得到2-向量： $$ \begin{aligned}
\mathbf{B} &= \left(\vec{\mathbf{v}}_u + \mathbf{e}_u \right) \wedge \left(\vec{\mathbf{v}}_v+\mathbf{e}_v \right) \\
&= \mathbf{e}_u \wedge \mathbf{e}_v + \vec{\mathbf{v}}_u\wedge \mathbf{e}_v - \vec{\mathbf{v}}_v\wedge \mathbf{e}_u +\vec{\mathbf{v}}_u\wedge\vec{\mathbf{v}}_v
\end{aligned}
$$把分量带入展开，得到： $$\mathbf{B} = \mathbf{e}_u \wedge \mathbf{e}_v + \sum_i \left( \mathrm{v}_{iu} \mathbf{e}_i \wedge \mathbf{e}_v - \mathrm{v}_{iv} \mathbf{e}_i \wedge \mathbf{e}_u \right) + \sum_{i < j} (\mathrm{v}_{iu} \mathrm{v}_{jv} - \mathrm{v}_{iv} \mathrm{v}_{ju}) \mathbf{e}_i \wedge \mathbf{e}_j $$ 这里第一项纯时间分量已经是单位1了，非常好；第二项就是代表速度的时空分量，它就是我们想要的描述质点速度的信息；但第三项是纯空间的分量，这些东西是什么呢？其实它是两个速度的外积，可以看做一种质点在单位时间内走过的“面积”：想象一个质点：它在 $u$ 方向沿 $x$ 轴运动，在 $v$ 方向沿 $y$ 轴运动，则它的速度矩阵为： $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，速度2-向量为： $\mathbf{e}_u\wedge\mathbf{e}_v + \mathbf{e}_x\wedge\mathbf{e}_v + \mathbf{e}_y\wedge\mathbf{e}_u + \mathbf{e}_x\wedge\mathbf{e}_y$。在单位面积的时间内世界面在xyz空间中的投影就是这个$\mathbf{e}_x\wedge\mathbf{e}_y$。

匀加速运动

试想一个质点在引力场中自由落体，这个场景在二维时间中是什么样的呢？这种均加速运动在我们的世界中定义为： $\vec{\mathbf{v}} = \vec{\mathbf{a}} t$，在二维时间中则要拆开为 $$\vec{\mathbf{v}}_u = \vec{\mathbf{a}}_{uu} u + \vec{\mathbf{a}}_{uv} v, \qquad \vec{\mathbf{v}}_v = \vec{\mathbf{a}}_{vu} u + \vec{\mathbf{a}}_{vv} v.$$ 由于加速度来自同一个位置函数$\vec{\mathbf{r}}(u,v)$的二阶偏导数，由混合偏导的可交换性有$\vec{\mathbf{a}}_{uv}=\vec{\mathbf{a}}_{vu}$，说明加速度张量一定是对称的。写成矩阵就是： $$\begin{pmatrix}\vec{\mathbf{v}}_u \\
\vec{\mathbf{v}}_v
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\vec{\mathbf{a}}_{uu} & \vec{\mathbf{a}}_{uv} \\
\vec{\mathbf{a}}_{vu} & \vec{\mathbf{a}}_{vv}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u \\ v
\end{pmatrix}$$ 这四个加速度分量都是三维向量，因此我们说加速度是 $2\times2\times3$ 阶张量。

我们假设这个星球有着向 $x$ 轴的重力加速度 $g$，且对时间 $u$ 与 $v$ 的影响相同，即 $\vec{\mathbf{a}}_{uu} = \vec{\mathbf{a}}_{vv} = g\vec{\mathbf{e}}_x$、$ \vec{\mathbf{a}}_{uv} = \vec{\mathbf{a}}_{vu} = \mathbf{0}$，设给定时刻$u=0, v=0$时质点位于坐标原点，初速度为$\vec{\mathbf{v}_u}(0)$、$\vec{\mathbf{v}_v}(0)$，则容易解得：$$\vec{\mathbf{r}}(u,v) = u \vec{\mathbf{v}}_u(0) + v \vec{\mathbf{v}}_v(0) + \frac{1}{2}g\left(u^{2}+v^{2}\right)\vec{\mathbf{e}}_x$$ 这里我们看到，对于给出了固定匀加速度的运动质点，只需要给定一个时刻的初始位置与初始速度，跟一维时间一样，整个时间区域中的运动状态都可以被求解。此外，是不是所有一般的匀加速运动都能够选择参考系来让它对角化变成没有交叉项呢？答案是否定的：加速度矩阵是个对称矩阵，线性代数的经典结论说实对称矩阵都能通过旋转变换对角化，这意味着要通过一个旋转来同时对角化x\y\z三个分量的矩阵，一般是做不到的。

参考系变换

在二维时间时空中，不考虑相对论的伽利略时空对称性分为空间旋转、时间平面内的旋转与时空之间的速度变换，它们共同构成伽利略变换群。我们希望所有的物理定律都可以在做了这三种变换后保持不变：

1. 空间旋转
   这部分就是正常的xyz中的空间旋转变换，它意味着空间的所有方向都相同，没有特殊的方向，任何方向都可做坐标轴。
2. 速度（时空混合）变换
   质点可沿两个时间方向分别做匀速运动，下面的参考系变换可以让质点相对新的坐标保持静止： $$\vec{\mathbf{r}}’ = \vec{\mathbf{r}} - \vec{\mathbf{v}}_u u - \vec{\mathbf{v}}_v v,$$其中 $\vec{\mathbf{v}}_u,\vec{\mathbf{v}}_v$ 为常向量，分别代表沿时间参数 $u$ 方向与沿时间参数 $v$ 方向的新旧参考系相对速度。写成矩阵形式 $$
   \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \\ z’ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} \mathrm{v}_{xu} & \mathrm{v}_{xv} \\ \mathrm{v}_{yu} & \mathrm{v}_{yv} \\ \mathrm{v}_{zu} & \mathrm{v}_{zv}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} $$
3. 时间旋转
   这是一种一维时间没有的全新的参考系变换。由于二维时间参数的地位相等，时间uv平面具有旋转对称性，旋转保持 $u^2+v^2$ 不变： $$\begin{pmatrix} u’ \\ v’ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$$

牛顿第二定律

下面来研究质点动力学。我们需要推广牛顿定律。第三定律没什么好说的，可以继续成立；第一定律是第二定律的特例，因此我们直接讨论第二定律的形式：如果直接将牛顿第二定律照搬进二维时间，令力等于质量乘加速度张量，则力也是一个 $2\times2\times3$ 的张量： $\vec{\mathbf{F}}_{\alpha\beta} = m \vec{\mathbf{a}}_{\alpha\beta}$（角标取$u$、$v$）。这看似自洽，但存在些困难：如果让力完全决定加速度，刚才的匀加速运动求解的粒子表明，一个时刻的粒子的状态就能决定该粒子整个世界面的状态；更糟的是，考虑一个只在有限时间区域内受力的粒子，区域外无力，加速度张量全部分量为零，这意味着世界面在该区域外必须是平面。力的影响完全被限制在受力区域内，无法传递到外部区域，会让粒子碰撞等有限时间区域内的力的作用毫无意义。

还有一种办法是换一种牛顿第二定律的推广。这里选择分析力学中的拉格朗日量来推导粒子的动力学方程。看不懂没关系，我们只需要结论。

（选读）定义质点的拉格朗日密度 $$ \mathcal{L} = \frac12 m\bigl( |\partial_u\vec{\mathbf{r}}|^2 + |\partial_v\vec{\mathbf{r}}|^2 \bigr) - V(\vec{\mathbf{r}}) $$ 作用量为时间平面上的二重积分 $S = \iint \mathcal{L} \mathrm{d}u \mathrm{d}v$。变分 $\vec{\mathbf{r}} \to \vec{\mathbf{r}}+\delta\vec{\mathbf{r}}$ 并分部积分，得到下面的运动方程：

$$ \vec{\mathbf{F}}= m\Bigl( \frac{\partial^2\vec{\mathbf{r}}}{\partial u^2} + \frac{\partial^2\vec{\mathbf{r}}}{\partial v^2} \Bigr) $$ 这里外力可以是势能的梯度 $-\nabla V$，还是我们熟悉的向量，且它只耦合到加速度张量的迹（两个二阶导数之和），加速度的其余独立分量不受力约束。

牛顿第一定律

令方程右边力为0，得到自由质点的运动方程，这是个二维拉普拉斯方程 $$ \frac{\partial^2\vec{\mathbf{r}}}{\partial u^2} + \frac{\partial^2\vec{\mathbf{r}}}{\partial v^2} = \mathbf{0}, $$ 即质点的世界面类似于极小曲面，粒子的每个位置坐标都是时间平面上的调和函数，这意味着即使不受力，世界面也不必是平面，它可以按照时间边界上的给定条件弯曲，恰好解决了前面的问题：我们熟悉的初值问题需要指定整个初始时间线上的位置和速度分布，而不是单点。这正是二维时间物理预言更多自由度的体现，如果强制让力正比于某个加速度向量以消除多解性，反而会抹杀这些丰富结构。

其它可能的设定？

从时空几何看，一维时间牛顿力学是曲线曲率等于力，二维时间则是曲面平均曲率等于力。可能有读者会想到为什么力要对应平均曲率，换成影响高斯曲率会怎样呢？在一维时间中，粒子的测地线永远没有高斯曲率，所以这不是一个很好的类比。可能读者还会考虑其它不同的牛顿第二定律形式，但要让能量正定同时保持二维时间上的旋转对称性的最简单形式就是这个了，因此我们不再在牛顿第二定律为何这样设定的问题上继续纠结。

小球碰撞模拟

我让AI简单写了一个二维空间加二维时间的小球碰撞的模拟器：2D2T，具有边界条件设置、多球位置编辑、拉普拉斯方程求解、重力与碰撞排斥力模拟、时间点悬停查看空间中小球状态等功能，但小球之间、球跟墙壁的碰撞还是不太对：我看到AI使用求周围时间平均值来迭代求解拉普拉斯方程，这本身不错，但对于外力（如施加垂直向下的力），他直接给小球加上一个向下的微小位移，然后用边界条件拖着它平滑来求解，但这样受重力影响往下扯，边界固定，会把空间扯成一个“袋子”形状，这个袋子中间的点的拉普拉斯算子符号是正的，即力反而向上，看来力的方向弄反了。模拟球间碰撞时，沿一条时间线走看起来也像是粒子互相靠近吸引，然后再甩出去分离。因此我直接把力方向反号，但这会导致粒子碰撞不收敛。因此这个场景与其说是小球碰撞，不如说是限制引力范围的互相吸引的天体的N体运动。但目前我没找到能够稳定求解二维时间碰撞的算法，这个vibe出来的模拟器只能当图一乐了。

我还发现了一个有意思的现象：把RGB通道颜色换成不同小球的速度|V|，可以看到有些时间点附近小球速度很大，颜色上色像一颗颗的偶极子。这些时刻对应小球与小球之间距离很近，快速掠过彼此的时间段。即小球的吸引相遇的时间构成的集合在uv平面上是零维的点，而不是一维的线。在迭代中我还发现有些离得近的掠过点可以互相随着迭代而靠近，最终合并后消失，我还不太清楚原因。需要提醒的是，掠过点的合并消失事件是在迭代器求解时发生的，它不是二维时间中的状态演化，只是计算求解的中间结果，所以这个现象其实没有什么物理意义。

这里还要特别指出的是，虽然我们是先确定了时间平面边界上小球的位置然后迭代演化确定了时空中小球的所有状态，但整个二维宇宙的“历史”是一次性铺开的，只要时空中的每一点满足相关的动力学方程即可，对于二维时间中的生物，它们只知道它们所在的时间点附近的状态，在它们看来时间演化是由中心向未知的外部扩散，而不是倒过来由确定的外部（边界）向内部扩散。

熵与时间箭头

我们的时间之所以有单向性跟熵的方向有很大关系。在普通一维时间里，给定初始状态，力学方程决定未来。但其实所有的物理定律都有时间反演对称性：抛出一个篮球再接住，时间倒放看到的也是抛出篮球后又接住，但涉及热力学损耗系统的就无法倒放了，比如球在地面上弹跳的恢复高度只会越来越低，倒放会看到现实中不可能的弹跳越来越高；镜子掉在地上打碎，倒放则能看到不可能发生的破镜重圆。熵增原理则断言，对于宏观系统，未来的状态数（熵，或者说概率）远远大于过去，甚至我们干脆直接用熵增(概率增大)的方向作为时间的未来方向的定义。

翻硬币的模型可帮助我们简单理解熵：设初始有$N$个正面朝上的硬币，每次随机选一个翻转，则这样演化下去最终硬币的正面朝上的数量会接近$N/2$，但这是概率的随机过程，它不会一直不断接近$N/2$，而是随机跳变，到达$N/2$附近后也会继续波动，甚至重新回到所有硬币正面朝上的状态，当然若$N$稍微大一些，重新回到所有硬币正面朝上的状态所需要等待的时间会指数级暴增，可能等到宇宙毁灭都等不到，更多相关内容请在网上搜索关键词：庞加莱回归。

如何在二维时间中定义熵？我们之前已经构造了一堆粒子的碰撞(排斥或吸引的具体形式都不重要，反正是相互作用)，那么每个时刻的粒子分布自然也会有混乱与秩序，也可定义熵的概念。二维时间系统没有内在的演化方向——一切历史都是“一次性”铺在时间平面上的世界面，因此可以换个视角：把熵看成分布在二维时间平面上的场，可以想象熵函数在时间平面上可能像地形那样起伏，熵增的方向自然是地形的梯度方向，二维人或许能够感受到特定的一维时间箭头方向，这些时间箭头像雨水那样沿着山坡流下、汇聚，最终流到低洼的热寂海洋之中。如果还想用随机翻硬币来模拟二维时间系统演化，要求从时刻(0,0)到(0,1)到(1,1)翻的两个硬币与从(0,0)到(1，0)到(1,1)相同，这样每一步的随机翻硬币会有强关联，而不是完全的随机。我让AI写一个二维时间熵的模拟器——EN2T：首先设置硬币数量$N$，每个时刻下这$N$个参数都可以是0或1。传统一维时间是$t=0$时，所有参数都是0，然后下一刻随机翻转一个硬币的0/1状态；二维时间版则是将时间离散为网格，初始选定(u,v)=(0,0)时刻，每个相邻（只算4个邻居，不算对角线）的两个时刻之间只能最多有一个硬币状态不一样。想在这样的约束条件下尽量得到随机的状态分布，如何做到呢？我采用了一种贪心算法，让格子的状态像晶核那样“长”出来，假设我们挑选出了一个周围有确定了状态的格子的未确定状态的格子，则：

• 若确定了状态的邻居数量为1则复制那个邻居的状态并随机翻转一个硬币；
• 若确定了状态的邻居数量为2且两个邻居状态完全相同，则还是随机翻转一个硬币；
• 若确定了状态的邻居数量为2且两个邻居不相同，又分两种情况：
  1. 只有一个硬币状态不同，此时随机选取这两个邻居的一个状态复制下来即可；
  2. 有且仅有两个硬币状态不同：记两个不同的硬币为a和b，先复制第一个邻居的状态，然后随机选取a或b，把它翻转。

如果我们能保证过程中不出现有三个及以上邻居，这个算法能完全产生不矛盾的解，都不用回溯。因此如何选择未确定状态的格子的遍历顺序显得很重要。我最先采用了方形螺旋遍历，发现了对角线方向的状态变化明显更慢，后来我又改进了一下，加入了一些随机性，但还是会留下明显的放射状的条纹。我认为这是贪心算法的问题，如果用更复杂的带回溯的策略，应该是可以实现完全在平面上随机的分布的。而且我们的模型已经可以看到，二维时间中的熵的分布的确可以像地形那样高低起伏。


可能你会觉得有点遗憾，弄了半天二维时间又变成传统一维的了，但我想说，这些时间箭头不一定像传统一维时间那样把过去和未来严格分离开：虽然整体可能有单一方向的热力学演化趋势，但局部的时间旋转对称性依然存在。我猜测二维时间生物的记忆是这样的：它们能记住时间周围不远的所有区域，但随时间距离增加逐渐衰退，最后到完全无法感知。这里的记忆衰退跟我们的遗忘是不一样的。遗忘只是生物的主动丢失记忆的机制，哪怕是写在纸上或计算机里，这些储存媒介也会产生“遗忘”，它们的记忆衰退是由时间的物理和几何因素决定的。

下面的章节技术性比较强，如果读者对公式不感兴趣，可以直接点此处直接跳到电磁波模拟器这里。

选读：力的相对论表述

在相对论五维时空$\mathbb{R}^{3,2}$中，质点历史为二维世界面 $\Sigma$，世界面的切平面可以用单位2-形式场$\Omega^{ab}$表示（即切平面的2-向量写成的反对称张量，采用抽象指标记号）它满足：

• 反对称性：$\Omega^{ab}=-\Omega^{ba}$
• 归一化：$ \Omega^{ab}\Omega_{ab} = 2$
• 简单性：$\Omega^{[ab}\Omega^{cd]} = 0$

类似一维时间世界的加速度向量 $a^a = u^b\nabla_b u^a$ ，二维时间世界的质点运动方程可完全用 $\Omega^{ab}$ 与其协变导数的缩并来表述。结合微分几何中的平均曲率向量的表达式，可将牛顿第二定律写成 $$ m \Omega^{bc} \nabla_b\Omega^a{}_c = -\mathrm{F}^a $$ 其中 $\mathrm{F}^a$ 为外力密度，且等式左边的形式能让力自动满足垂直于世界面的法向条件 $\mathrm{F}^a \Omega^b{}_a=0$。自由运动 $(\mathrm{F}^a=0)$ 即 $$ \Omega^{bc} \nabla_b\Omega^a{}_c = 0 $$

此表述不依赖世界面参数选择，完全由时空几何量 $\Omega^{ab}$ 给出。读者可以自行检验在低速近似下，质点运动方程将回归到前面的非相对论形式。

选读：连续性方程

刚才看了小球或质点的运动，下面来看一般的物质的运动：物质不是集中在一点处的，它们是按照密度分布在世界中的。在我们的世界中有质量密度、电荷密度等概念，且有连续性方程：$$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$ 可形象理解为单位时间内水流流进闭曲面的总通量就等于该闭曲面中新增加的水的质量。

我们四维时空中的连续性方程其实是在说：有多少粒子的世界线穿入时空中的封闭闭曲面则就有多少根穿出。这说明没有世界线在闭曲面中中断或新产生，正是质量守恒的体现。我们用向量场代表粒子密度，则上述描述等价于闭曲面$\Sigma$上的向量场的通量为0：（$\Sigma_a$是闭曲面上的（余）法向量） $$\oint_{\Sigma} J^a \mathrm{d}\Sigma_a = 0$$或者说物质流密度场在时空中的散度为0： $$\partial_a J^a = 0$$

二维时间下物质的连续性方程是什么样的呢？我们可以想象二维时间版的水池：一个封闭区域中质量对每个时间的参数的增减（由偏导数描述）都对应着一个流入量。这两个流量正好就是物质的速度场（$\mathbf{v}_u$、$\mathbf{v}_v$）乘上密度。$$\frac{\partial\rho}{\partial u} = \nabla\cdot\mathbf{J}_u$$$$\frac{\partial\rho}{\partial v} = \nabla\cdot\mathbf{J}_v$$

时空中的连续性方程

这个方程是否等价于描述物质连续呢？直观来看二维时间中连续的物质分布对应时空中有很多世界面，像书页那样一层一层地充满了整个时空。现在我们用2-向量场$J$来表示这些书页结构的密度，就像用向量场来表示像头发结构的一维世界线的密度那样。我们不希望某张世界面是残缺不完整的，因为它代表着粒子在某片时间区域消失了。设空间维度为N，则整个时空是N+2维，我起初做了一些错误的尝试，最先是这样想的：各世界面都跟N+2维时空中的一块区域的边界(N+1维)有一周交痕。要想捕捉到交痕不完整，我的想法是把一周交痕的切向量全相加。如果粒子束守恒，则这一圈相加下来刚好向量绕一圈就为0，若有些区域密度低，则平衡被打破，然而，只有标量才能在闭曲面上累加积分，这种直接对不同位置上的向量求和在非平直空间上是非法的。然后我又想到一招：直接把2-向量投影到闭曲面的法向量方向上去，但由于对称性，二向量在法向量上的投影要么都向外，要么都向里（跟世界面的定向有关，详见下个小节），不会抵消成0。为什么这些推导都是错的呢？因为它们都没遵循维度匹配理论：一个是想把2-向量沿着一维的环路积分，另一个是想把2-向量在N+1维的闭曲面上积分。后来发现要想构造出正确的通量，只有两种方法：一种是把2-向量在二维闭曲面上积分：$$\oint_{\Sigma} J^{ab} \mathrm{d}\Sigma_{ab}$$另一种是2-向量在N维闭曲面上的积分：利用霍奇对偶在N+2维空间中把2-向量映射成N-向量$J^*$：$$\oint_{\Sigma} (J^*)^{(..N个指标)} \mathrm{d}\Sigma_{(..N个指标)}$$只有这两种维度匹配才可以积分。令第二个积分为0才是正确的连续性方程。我们在《四维世界（七）：电磁学》中提到过，第一种积分是环流量的高维推广，第二种积分才是通量的高维推广。可能有点抽象了，下面看具体例子：

• 第一种积分在粒子满足连续性时也可能非0，比如下面的情况：取一个正方体的表面作为积分的闭曲面，只有左边有粒子存在，右边没有，则整个二维闭曲面上有左边的净环流量。

• 第二种积分有点抽象，我们直接考虑最简单的N=1即1+2维时空的情况：2-向量在三维空间中的霍奇对偶就是世界面的法向量。如果有一个“无中生有”的世界面突然产生，则沿闭曲线的环流量可以把它“揪出来”：

熟悉微分形式的读者可看出，第二种积分即物质流密度2-向量场$J$的余微分等于0：$\mathrm{d}(J^*) = 0$，读者可自行验证把分量展开就可以恢复得到上面的那个方程。顺便想说的是，这个表达式跟时间的维度无关：传统一维时间中$J$就是个普通向量，该方程自动退化到向量零散度方程。

选读中的选读：世界面的时间定向

细心的读者会发现，上面沿红色闭曲线积分的图中为啥这些世界面的法线方向要保持一致呢？不能把某些法向量取反吗？这涉及到世界面的定向。在传统的四维时空中，世界线就是类时线或类光线，它有两种方向，一个是指向未来，一个是指向过去。相对论中的连续时空参考系变换——洛伦兹变换不可能颠倒这两种方向，因此我们直接规定只选取指向未来的定向，即所有粒子都向未来时间演化，就算存在一些粒子是倒着演化的也把它们看作是反粒子向未来演化。

二维时间中虽然时间没有单一方向性，但也存在着这样的定向方向。就拿uv平面的单位2-向量为例，在3+2维空间的时空洛伦兹变换也不可能把2-向量$\mathrm{e}_{uv}$连续变换成$\mathrm{e}_{vu}=-\mathrm{e}_{vu}$。这样所有的类时2向量就可以分成正负两类，我们就可直接规定所有世界面的定向都选择跟$\mathrm{e}_{uv}$保持在同一类的那个。

选读：电磁场

初步尝试

假设五维时空中的电磁场还是由2-向量（反对称张量） $F_{ab}$ 描述： $$\begin{pmatrix}0 & {\color{red}{F_{xy}}} & {\color{red}{F_{xz}}} & {\color{limegreen}{F_{xu}}} & {\color{dodgerblue}{F_{xv}}} \\ {\color{red}{-F_{xy}}} & 0 & {\color{red}{F_{yz}}} & {\color{limegreen}{F_{yu}}} & {\color{dodgerblue}{F_{yv}}} \\ {\color{red}{-F_{xz}}} & {\color{red}{-F_{yz}}} & 0 & {\color{limegreen}{F_{zu}}} & {\color{dodgerblue}{F_{zv}}} \\ {\color{limegreen}{-F_{xu}}} & {\color{limegreen}{-F_{yu}}} & {\color{limegreen}{-F_{zu}}} & 0 & {\color{grey}{F_{uv}}} \\ {\color{dodgerblue}{-F_{xv}}} & {\color{dodgerblue}{-F_{yv}}} & {\color{dodgerblue}{-F_{zv}}} & {\color{grey}{-F_{uv}}} & 0 \end{pmatrix}$$ 其分量很多，我们按照时间与空间的混合情况可以分成4个场：

• 一个空间磁场（赝向量场，跟传统世界相同）：$${\color{red} {\mathbf{B} = (F_{yz},-F_{xz},F_{xy})}}$$
• 两个电场（向量场）：$${\color{limegreen}{\mathbf{E}_u = (F_{xu},F_{yu},F_{zu})}}$$ $${\color{dodgerblue}{\mathbf{E}_v = (F_{xv},F_{yv},F_{zv})}}$$
• 一个时间磁场（标量场）：$${\color{grey}{S = F_{uv}}}$$

我们的世界电磁场只有$3+3=6$个分量，到了二维时间变成了$3+3+3+1=10$个！

下面来推广洛伦兹力：最自然的就是还是保持$F=q(B \times v+E)$的形式。由于现在有两个电场，则从$F=qE$来看，力也该是一个2-向量，跟我们之前所说的力是向量或高阶张量都不一样。难道是我们之前定义的力错了？在非相对论情况下，如果力是2-向量，我们就能把它像分解速度2-向量那样写成两个力 $\vec{\mathbf{F}}_u$、$\vec{\mathbf{F}}_v$，则牛顿第二定律也可以是各管各的两个方程：$$\vec{\mathbf{F}}_u = \frac{\partial^2 \vec{\mathbf{r}}}{\partial u^2}\qquad\vec{\mathbf{F}}_v = \frac{\partial^2 \vec{\mathbf{r}}}{\partial v^2}$$ 乍一看这种推广也是一种可能性，但其实该方程没有时间旋转对称性，会导致时间u、v的方向变得特殊，这根之前提到的加速度张量一般不能对角化的原因类似：加速度张量的对角线上的元素并不是时空变换的不变量，只有迹（对角线之和）才是。其实，如果尝试列出麦克斯韦方程，也会遇到场源的维度（2-向量或对偶的3-向量）跟方程不匹配的问题：电磁张量是2-向量，外微分为0，只能做余微分跟1-向量形式的场源匹配。因此我们的初步尝试失败了。

3-向量电磁场

要解决刚才的问题，我们还可以把电磁场升维：五维时空中的电磁场由 3-向量（三阶反对称张量）$F_{abc}$ 描述。利用霍奇对偶，它还是可以等价于一个2-向量场，我们仍可将其写成一个同样尺寸的 $5\times5$ 反对称矩阵，注意霍奇对偶会让符号产生交替：

$$
\begin{pmatrix}
0 & {\color{red}{F_{zuv}}} & {\color{red}{-F_{yuv}}} & {\color{limegreen}{F_{yzv}}} & {\color{dodgerblue}{-F_{yzu}}} \\
{\color{red}{-F_{zuv}}} & 0 & {\color{red}{F_{xuv}}} & {\color{limegreen}{-F_{xzv}}} & {\color{dodgerblue}{F_{xzu}}} \\
{\color{red}{F_{yuv}}} & {\color{red}{-F_{xuv}}} & 0 & {\color{limegreen}{F_{xyv}}} & {\color{dodgerblue}{-F_{xyu}}} \\
{\color{limegreen}{-F_{yzv}}} & {\color{limegreen}{F_{xzv}}} & {\color{limegreen}{-F_{xyv}}} & 0 & {\color{grey}{F_{xyz}}} \\
{\color{dodgerblue}{F_{yzu}}} & {\color{dodgerblue}{-F_{xzu}}} & {\color{dodgerblue}{F_{xyu}}} & {\color{grey}{-F_{xyz}}} & 0
\end{pmatrix}
$$
按照时间与空间的混合情况可以分成4个场：

• 一个空间电场： $${\color{red}{\mathbf{E}} = (F_{xuv},F_{yuv},F_{zuv})}$$
• 两个独立的磁场（赝向量场，跟传统世界相同）：$${\color{limegreen}{\mathbf{B}_u} = (-F_{yzv},F_{xzv},-F_{xyv})}$$ $${\color{dodgerblue}{\mathbf{B}_v} = (F_{yzu},-F_{xzu},F_{xyu})}$$注意$\mathbf{B}_u$对应3-向量不含$u$只含$v$，$\mathbf{B}_v$对应3-向量不含$v$只含$u$，这是因为一维时间中磁场对应的2-向量也只有纯空间分量，所以这里也应把对应的时间分量去掉，才能是一维时间的磁场定义的合理推广。后面的推麦克斯韦方程也能看出这样规定才是合理的。
• 时间电场（赝标量场）：$${\color{grey}{S} = F_{xyz}}$$

我们看到，3-形式电磁场分解出来只有一个电场，而磁场分裂为两个，与前面的2-形式电磁场分解出两个电场、一个磁场的情形恰好对偶。这样修改后的电磁场自然有点电荷的电场就是跟传统电场一样，而磁场则跟两个方向的速度有关，各激发各自的对应场，比如有一根x轴方向的导线，在时间u方向流动的电流激发$B_u$磁场，在时间v方向流动的电流激发$B_v$磁场。同时洛伦兹力也让两个时间方向上的速度自然跟两个磁场匹配。

洛伦兹力

将场量与速度2-向量缩并就能得到洛伦兹力：$f^a=F^{abc}\Omega_{bc}$，把分量写开，我们得到一个非常自然的洛伦兹力的推广： $$ \mathbf{f} = q(\mathbf{E} + \mathbf{B}_u\times\mathbf{v}_u+\mathbf{B}_v\times\mathbf{v}_v)$$

单看电场，它跟我们的世界的电场一模一样，后面的麦克斯韦方程可进一步推出，静电场的所有理论都跟一维时间的相同。主要的区别在磁场：它跟运动的速度有关，自然会有两个时间分量去分别作用。

麦克斯韦方程组

场强 $F$ 由 2-形式势 $A$ 通过 $F = \mathrm{d}A$ 给出。无源方程来自 $\mathrm{d}^2A = \mathrm{d}F = 0$，有源方程来自 $\star\mathrm{d}\star F = J$，其中 $J$ 是电流密度2-向量场，它包含空间电荷密度 $\rho$、空间电流密度 $\mathbf{J}_u, \mathbf{J}_v$信息，详见连续性方程小节。方程组用矢量/标量表示为：

无源方程：
$$
\begin{aligned}
\nabla\cdot\mathbf{B}_u -\frac{\partial S}{\partial v} &= 0,\\ \nabla\cdot\mathbf{B}_v +\frac{\partial S}{\partial u} &= 0,\\
\nabla\times\mathbf{E} - (\frac{\partial \mathbf{B}_u}{\partial u} + \frac{\partial\mathbf{B}_v}{\partial v}) &= \mathbf{0}
\end{aligned}
$$ 解读：

1. 传统的磁场磁力线是无头无尾的闭合的圈，但二维时间中，磁场也可以有空间场源，它来源于标量“时间电场”的时间梯度。这个标量“时间电场”扮演了磁荷的角色，让磁单极子可以存在。
2. 法拉第电磁感应定律依然存在，只是磁场随时间的变化率在二维时间中变成了磁场在二维时间中的“时间散度”。

有源方程：
$$
\begin{aligned}
\nabla\cdot\mathbf{E} &= \rho,\\
\nabla\times\mathbf{B}_u - \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial u} &= \mathbf{J}_u,\\
\nabla\times\mathbf{B}_v - \frac{\partial{\mathbf{E}}}{\partial v} &= \mathbf{J}_v,\\
\nabla S + \frac{\partial\mathbf{B}_v}{\partial u} -\frac{\partial\mathbf{B}_u}{\partial v}&=\mathbf{K}
\end{aligned}
$$ 解读：

1. 电场的场源来自于电荷，跟我们的世界一样；
2. 电流的磁效应也几乎跟我们的世界一样，只是一个方程分裂成了u/v两个时间分量的方程。
3. 最后一个方程我也不知道怎么解释，是二维时间特有的。其中$\mathbf{K}$来自于电流密度2-向量的空间分量。

除了这几个方程，还有一些对场源的约束：

1. 由于电流都是真实的粒子，世界面肯定对应简单2-向量，因此有个简单性约束：$$\rho\mathbf{K}=\mathbf{J}_u\times\mathbf{J}_v$$
2. 电流连续性方程由 $\mathrm{d}^2\star F=\mathrm{d}\star J=0$ 导出： $$ \frac{\partial\rho}{\partial u} = \nabla\cdot\mathbf{J}_u,\qquad \frac{\partial\rho}{\partial v} = \nabla\cdot\mathbf{J}_v $$ 以上就是二维时间世界中描述电磁场的全部方程了。

电磁波

下面我们来看一下电磁场的波动解。对2-形式势 $A$ 施加余微分为零的洛伦兹规范条件 $\delta A=0$ 即 $\partial^a A_{ab}=0$，则势的每个分量都满足波动方程：$$(\nabla^2 - \partial_u^2 - \partial_v^2)A_{ab}=0$$

取平面波解 $A_{ab} = \epsilon_{ab}, e^{i k\cdot x}$，其中常2-形式 $\epsilon_{ab}$ 为极化张量，波矢 $k^a$ 满足类光条件 $k^a k_a = 0$。由于有洛伦兹规范条件，再加上场强 $F = \mathrm{d}A$ 不能处处为零，可得到极化张量跟波矢量之间必须满足：$$ k^a \epsilon_{ab} = 0,\qquad k \wedge \epsilon \ne 0 $$这两个条件的几何意义为极化张量2-向量的平面必须垂直于波矢量。

由对称性，我们不妨固定波矢为 $k = e_x + e_u$，此时与 $k$ 正交的子空间由 $e_y, e_z, e_v, k$ 张成，我们要找的极化2-向量平面就由这些基张成。但$k$是类光的，它与自己正交，内外积都是0，因此有它参与张成的平面会让场量为0，因此只留下$e_y, e_z, e_v$的三种组合：

1. 纯空间极化（纵波）($\times 1$)

取 $\epsilon = e_y\wedge e_z$，计算场量可知电场为零，磁场方向跟波传播的方向相同，因此是纵波。波矢 $k = e_x + e_u$表明电磁波沿$x$方向朝时间$u$参数传播，磁场只有对应的$u$时间分量：$\mathbf{B}_u$ 沿空间波矢方向（$x$ 轴），同时时间电场$S$也非零。这是二维时间特有的纵波-标量波模式，在我们的世界中不存在。

2. 时空混合极化（横波）($\times 2$)

取 $\epsilon = e_y \wedge e_v$，计算场量可得电场沿 $y$ 方向，磁场 $\mathbf{B}_v$ 沿 $z$ 方向，二者相互垂直且均垂直于空间波矢方向（$x$ 轴）。波矢 $k = e_x + e_u$ 表明电磁波沿 $x$ 方向朝向时间 $u$ 传播，磁场仅具有另一个时间 $v$ 时间分量：$\mathbf{B}_v$ 沿 $z$ 轴，赝标量 $S$ 为零。为什么磁场没有$u$分量而有$v$分量？我们说过，传统的磁场是没有时间分量的，因此传统横波在二维时间中的自然推广就是不取传播的时间的分量。这种横波其实与普通四维时空中的电磁波偏振性质几乎是一致的。与之独立的另一个横波模式由 $\epsilon = e_z \wedge e_v$ 给出，两者共同构成二维时间中光子的两个常规偏振态。

总结：二维时间中的电磁波包含两个横波模式（类似我们世界光子的两个偏振）和一个纵波-标量模式（纯空间极化，电场为零，磁场纵向且伴随标量场）。

电磁波模拟器

估计读者看到这里已经被公式淹没不知所措了。下面来上最直观的：我用ai跑了一个二维时间电磁波模拟器：EM2T。

里面有多种电磁波的预设，可直观看到这些空间、时间上的场强分布。值得注意的是，磁场其实是个$3\times 2$阶张量，它可看作两个三维空间中的向量$\mathbf{B}_u$、$\mathbf{B}_v$，也可看作是三个二维时间平面上的向量$\mathbf{B}_x$、$\mathbf{B}_y$、$\mathbf{B}_z$，总共6个自由度。这两种分解方式分别画到了模拟器的三维空间与时间平面上。

选读：波与量子力学

全光子疑难

不知读者看到电磁波有没有疑问：既然现在是二维的时间，为何我们还在用波矢量这种一维的东西来描述波的前进方向？难道不应该用表示平面的2-向量吗？模拟器中的单色平面波，依然只在一个时间方向上传播，这让我们感觉，这种电磁波对应的是一种“半光子”，它的世界面只在一个方向上类光，而另一个方向上类时。有没有那种整个世界面的有所方向都类光的“全光子”呢？很遗憾，我只能找到一些垂直的半光子的叠加，得到的组合波看起来是在二维时间上传播的，然而我认为这不算真正的全光子，并且全光子很可能不存在。下面我们跳出具体形式的电磁场，来讨论一下广义的波动。

二维的波动

我们知道，微观量子理论建立在波函数的基础上。一般的波会有一个相位引子，它随时间和空间线性变化，去相位引子的正弦/余弦函数，就得到了周期性的波。要想得到全光子那种在二维平面上传播的波，它的“相位引子”也需要是两个，因为如果还是只有一个相位引子，则相位引子在时间平面上的梯度（变化最快）方向就是波传播的方向的，另一个垂直的方向则是静止的方向，这正是我们之前见过的“半光子”模式。假设我们有了两个相位引子，怎样计算转换成最终的波动呢？首先波动具有周期性，要想在平面上找到二维的周期性，则波动周期的基本区域（即重复区域）必须是平行四边形那样的格子，这种格子显然会打破时间旋转对称性，因此我们的全光子不能再是没有结构的一个点，它可能真的只能是几个半光子的组合：要得到一个在二维时间平面上各向同性的波包，至少需要两个不同时间方向的平面波叠加。这样形成的干涉图案在时间平面上的周期性区域是平行四边形，打破了连续旋转对称性，只保留了离散的晶格对称性。

量子化困境

如果我们承认全光子只能由半光子合成，这还不是最致命的问题。真正让二维时间量子力学陷入困境的是动量算符的定义。我们知道，单粒子的位置波函数的傅立叶变换就是动量的波函数，即粒子位置波函数的空间分布频率决定了相应方向的动量的大小，动量算符就是梯度算符$-i\hbar\nabla$，这是一阶导数，作用在标量波函数上产生一个矢量。但在二维时间中我们分析了动量必须是一个2-向量。要找到一个只含一阶导数能产生2-向量的算符，在标量波函数的框架内是不可能的——要么用二阶导数，要么将标量波函数提升为向量场或2-向量场，但这些结构太复杂了，属于是在硬凑数学形式，显然是不对的。

诺特定理也佐证了这一点：它本来是说时空的对称性变换会给出相应的守恒量。但不管时间是几维，时空平移都得到的是向量版的动量守恒，而不是2-向量版的动量守恒。时空平移对称性给出的守恒量总是矢量动量$P^a$，而非2-向量。虽然我们可以人为定义带有双参数的时空对称性变换，但这样得到的2-向量就像那种半光子组合成全光子那样，不再基本。我们之前在非相对论质点力学中构造的2-向量$P^{ab}$，其实是可以将这个五维动量矢量中的信息重新打包来产生的，它本身不是由独立的对称性产生的基本守恒量。因此很可能量子化时正则对易关系只对矢量动量成立，不存在一个独立的2-向量版的动量算符。这意味着，将传统标量粒子量子力学直接推广到二维时间，可能面临根本性的困难，要么我们放弃用标量波函数描述粒子，转而接受不自然的有自旋的场作为基本对象；要么我们重新定义二维时间量子化的规则，不过还好的是，只研究宏观现象时，很多时候用不着关心量子力学。

生命游戏？

刚才我们都讨论的是“真实”物理，都是连续时间，下面我们来看看轻松一点的离散时间系统：二维时间中的元胞自动机。生命游戏算是最著名的元胞自动机了，如何把生命游戏推广到二维时间的版本呢？自然我们希望时间也是离散的方格子，相当于四维空间的整数格点(x,y,u,v)来描述全局状态。传统生命游戏，一个格子周围8个空间邻居数决定下一刻状态，但二维时间中不再有方向性，所以我换了个思路：二维时间中，能否让空间邻居数跟时间邻居数相互制约？比如两个数量在某个范围内中间的细胞必须要为死，其它范围内为生，某些范围无所谓。规则有了，怎么模拟计算呢？现在时间不再有单向性，我们也无法直接给出递推式了，可能只能整体找解。我让ai尝试写了一个用波函数坍缩算法来求解的模拟程序——CA2T。 上面的插图展示了一个 $5\times5$ 空间、$5\times5$ 时间的小型二维时间生命游戏的结果。画面左边是空间切片，右边是时间切片，灰色代表尚未确定的格子，白点代表活细胞。

这个生命游戏是这样工作的：首先给一张规则表，它是一张 $9\times9$ 的表格，横轴代表时间邻居数 $n_t$（0~8），纵轴代表空间邻居数 $n_s$（0~8）。表格的每一格可以设定为三种状态之一：必死（黑色）、必生（白色）或无所谓（灰色）。这个规则表决定了每一个元胞在什么时空邻居环境下必须是什么状态。

有了规则之后，怎么在二维时间上跑起来呢？在普通的生命游戏里，我们只要知道上一时刻的空间状态，就能逐帧推演出未来。但二维时间里没有了单向的过去和未来，时间本身也是一个二维的平面，我们不能再沿着一个方向递推。取而代之只能把整个四维网格 $(x,y,u,v)$ 上的所有元胞状态（0=死，1=生）当作一个整体，寻找一个能同时满足所有邻居规则的全局解。我们可以使用波函数坍缩（Wave Function Collapse）算法求解，它可以从一个部分确定的初始布局出发尝试给未定的格子赋予生死状态，一旦发现矛盾就回溯调整，直到每一个格子都确定下来完成求解，或得到矛盾求解失败。你可以用鼠标在时间轴上滑动，观察空间状态的变化；也可以点击某个空间点，查看它在整个时间平面上的生死轨迹。在求解过程中，算法会实时显示出当前已确定的格子的邻居计数，帮助我们确认格子的状态是否符合规则。其实针对大多数规则表，要得到一个全局解还挺难的，因为我们是在二维时间加二维空间中，其实是个四维时空，每个格子都有生死两种状态，默认的时空格子都是$5\times 5$的格子，一共有$2^{5^4}=2^{625}$种组合，遇到矛盾回溯时在不采取专门的策略的情况下，就算有解都可能会试错很久才能得到。我尝试过优化ai生成的回溯机制的代码，结果发现优化后更难求解成功了，搞成负优化了，就暂时没有继续折腾了。如果读者有对这个模拟感兴趣的，欢迎分享你的优化策略。（源码在github）

二维时间文明？

在探讨了二维时间的种种可能性之后，我们不禁要问：二维时间中的生物的日常生活和它们的主观感受到底是怎么样的？我曾经跟@kenzaki-ririka探讨过这个话题，内容比较天马行空，大家看个乐子就好，没有什么硬逻辑，部分内容如下：

• 这个世界里二维生物给物体施加的力可以决定物体具体怎么运动吗？比如踢球，它们可以决定它在哪个时间方向上离自己越来越远，哪个离自己近？我是难以想象具体的操作，因为操作步骤顺序同样也是二维的。
• 二维时间世界中的电影院排片，如果多边形形状的电影不能密集镶嵌就可能影响电影院的利润。它们怎么知道什么时候看电影呢？是不是应该要给个电影播放时间的边界方程，但是这个坐标系怎么建立取决于它们的历法计时系统，换言之它们的天体是怎么转的？二维生物时间规划麻烦的地方就在于不但要考虑时间的面积还要考虑形状，比如去ktv点歌，就得把不同形状的歌塞进一片时间里面，可能导致有的时间明明没人唱却只能都干坐着玩手机……
• 在二维时间开车，如果出了车祸二维人也不会死，车祸如果出在一个点或者闭曲线内部的话甚至会看到地上的碎片自动飞起来把车修好继续前进……二维车的控制系统是不是会不一样，虽然油门和方向盘的动作也可以是二维的，但在某一时刻的状态是确定的，比如换档的档把可以在二维时间平面不同方向上移动……二维人的道路交通会有什么不一样呢，路口的红绿灯会是像国际象棋棋盘一样交替吗？不过考虑车流量之类的问题，应该不会是一样的大小和形状。而且还要考虑密集镶嵌。不过路可能必须也要是二维的，交叉口是否还要修二维立交桥？
• 它们星球的日夜交替会像棋盘格那样吗？行星的自转牵涉到刚体动力学：刚体旋转的角速度也会有$u$、$v$两个分量，通过作用量也可以导出自由的刚体的运动方程，也会由边界条件来求解每个时刻的朝向，所以行星自转的规律可以非常任意，日夜交替的问题可能非常复杂……
  -它们星球上的季节交替是怎样的呢？想象一个绕中心天体稳定运行的行星，它的世界面是怎样的呢？公转系统也由边界条件决定，自由度也很大，我想了一些特殊情形：一种可能是，它在$u$时间参数上做匀速圆周运动，在$v$时间参数上静止不动，但这无法体现二维时间的有趣结构。另一种可能则是假设保持$u$、$v$时间上的各向同性，则我们的公转角度在时间平面上就得有旋转对称性，但这就意味着有个特殊的时刻，它是时间平面上的时间旋转中心，或许这就是二维时间星系的特色？
• 类比我们的红绿灯倒计时，二维人的十字路口上是不是会有个图，标明红绿灯交替的规律，再用一个移动的光点表示当前的时间？它们的视频下面也会有个图表示，这个视频的形状。一些短视频网站可能会通过算法自动规划。让用户可以最高效率的观看视频。一些实在无法密集堆砌的部分可以填入广告……
• 二维语言的文章、句、词也有形状，因此，在考虑镶嵌问题的时候，就像写骈文一样，是不是非常费脑筋？如果实在搞不定的话，只能在一些空隙里面填入语气助词，二维明清时代的八股文估计对这种镶嵌会有严格要求？可能不同的字发音本来就有形状，甚至会有“表意发音”这种东西？亦或有些的文明的每个字的发音都是标准的六边形或者正方形？
• 二维的朝代就像空间中的国家一样有复杂的形状，边界线上是革命或政变？
• 由于半光子在某个时间方向上是静止的，能不能把空中飞过的半光子用某种方式抓下来，压制成纸张写信?
• 如果熵决定时间箭头，那么二维生物搅拌咖啡时会怎么样？如果它们只感受熵的方向则可以看到牛奶正在跟咖啡混合在一起，但是还没有完全混合，熵正在增加。但事实上宏观的牛顿力学却让它们却感觉到这个勺子并不是完全把握在自己手里，在等熵线上靠近它的其他自己，也在握着这个勺子。惯性把它们两个手里的勺子连在一起，甚至它松开手，它也会自己在咖啡杯里转动。其实它们大脑当中的神经细胞/粒子也像这个勺子一样，在共同地进行思维，这些都是同一个二维生物不同时间方向上记忆里的一部分，因此我觉得二维生物的感受时间的方式不能只是熵增方向。熵对它们的意识方向可能有影响，但没有我们这么绝对，在时间平面上熵有些极值点，意识跑进去可能就出不来了，但它们能否储存一些负熵，逆着总熵的梯度走一段，到达下一个有稳定熵增的地方，类似量子隧穿那样发生在时间熵垒上？
• 是否允许我仅在某一时刻打碎一个杯子，杯子碎掉的时间是个什么形状？二维时间中的人生病吃药，药物浓度在时间平面上是个什么函数？如果希望在病人世界面上同时存在无穷的时间都有胶囊态和扩散态的话，这两种态的分界是一维线，也就是说吃药操作不是一个单点时刻发生的，病人要在一条无穷长度的时间线上吞下这颗胶囊？但这样很像是一种时间“柱体”，相当于把我们世界挤出一维时间维，如果那个方向上没有变化其实我们都不能察觉到它的存在，也就是说，胶囊化开如果发生在一条线上的话，是否等价于我们一维时间中正常化开胶囊？

科幻设定：时间潜入者

最后一个问题启发我们为什么感知到的世界只有一维时间？有一个设想是：我们其实就生活在一个完整的3+2维宇宙中，只是我们所在的这片时空区域，在 $v$ 时间方向上极度平坦——平坦到几乎没有任何事件沿着 $v$ 方向发生变化。物理上，这意味着这片区域中所有物质的世界面在 $v$ 方向上的曲率接近于零，就像一张被拉得紧绷的膜，沿着那个方向完全静止。二维时间原住民在探索自己的宇宙时，发现了这片异常的区域。对他们来说，这片“时间冻土”是脆弱的：任何外来的沿 $v$ 方向有变化的世界面与之相交，都会在这片平坦上激起褶皱——就像一块石头投入平静的水面。而这些褶皱一旦扩散，可能彻底改变这片区域的物理结构。出于保护的目的——或许也出于某种敬畏——他们发展出了一种特殊的技术：将自身世界面的 $v$ 分量的变化压缩到几乎为零，即在一个时间方向上把自己“冻结”住，只沿着我们的 $u$ 时间流逝的方向上活动。这样，他们就能以不惊扰 $v$ 方向平直性的方式，悄然进入我们的时空切片。他们不是用脚走过来的，而是随着二维的时间流逝“活”过来的——他们称自己为时间潜入者。潜入之后，他们失去了在 $u$-$v$ 平面上任意行走的自由，被锁死在单向的 $u$ 轴上，只能像我们一样逐帧经历时间。但他们发现了地球文明，发现了这个在时间冻土上自发涌现出的奇妙物种。出于保护，也出于某种难以言说的情感，这些潜入者选择了留下。他们放弃了二维时间的故乡，完全以一维时间的生活方式，活在我们中间……

更离谱的设定：时空互换？

不知道读者有没有疑问，为什么有一个维度会被我们看成时间，仅仅是因为度规当中它前面的系数是负的？为什么不会依然把这个坐标当成空间呢？从时空的度规上看，时间与空间确实有种对偶性——二维时间+三维空间从某种意义上等价于二维空间+三维时间。三维时间就更复杂了，我们可以退而求其次，讨论二维空间+二维时间的情况：会不会有两种形式的生命同时存在，它们互相以对方的时间为空间？也就是说生物A的世界面在自己看来是全类时的，但在另一种生物看来是全类空的？它们同时存在会产生什么样的交互呢？物理学家假设过我们的时空中存在一种超光速的“快子”，但这个东西在时空中的轨迹是一维的，不是我们要找的时空互换的物质。那么，会不会存在一种跟我们同在一个宇宙里的物质，它在我们的空间中有世界胞（三维流形），而时间方向对它来说是空间方向呢？