上期求解了面面夹角传递问题，本文通过引入直线和胞在状态空间中的表示解决面胞、线面夹角传递问题。本文还介绍了四维旋转旋转对应平面状态空间内部的变换。

本文从一个向量夹角的思考题出发，介绍了通过定义抽象的平面状态空间从几何上更方便地可视化平面间夹角，并将平面间夹角从锐角拓展到实数取值。通过模拟器演示，探究平面间夹角取值范围关系。

本文继续探讨四维世界中的物质结构，并尝试大胆预测这些虚构分子的性质，作者非化学专业，欢迎批评指正。当我正在继续写这部分内容时，网友KWOK Chun分享了《对称4D化学》在线文档，该文档的周期表设定与本文类似，但元素命名不同。此外4denthusiast还从基础粒子物理角度构建更严谨的四维物理体系，并开创了四维计算化学。

四维世界中因力的三次方反比规律，原子理论似乎无从成立，物质结构形同虚设。然而若暂时忽略这一物理障碍，依旧可以构建一个类比三维的四维元素周期表。本文基于假设的四状态自旋电子，探索四维原子与元素的可能形式并编制了一张四维元素周期表。

这次来看看超球面上的驻波模式——超球谐函数。它们是超球面上拉普拉斯方程的解，跟可能的四维原子的波函数形状有关，亦可通过“超球谐光照”算法加速四维光线跟踪渲染。或许读者已经了解过球面上的球谐函数，本文将尽量避开繁复的表达式，从新的角度理解它们。

上篇文章介绍了命题逻辑、一阶逻辑再到ZFC集合论，本文来看一种新的宣称想要取代集合论在数学中地位的新东西——类型论。事实上它已经广泛运用在机器证明当中，其中最著名的就是四色定理的证明了，同时它跟程序代码很类似。把类型论稍加改造成同伦类型论，它还能比集合论更加“直接”地处理拓扑学中的许多问题。

本文总结了常见的四维几何图形数据生成算法，包括锥化/柱化/直积形生成、参数曲胞生成、正多胞体及其衍生物生成、胞腔复形的定向处理以及四面体剖分问题。

数学有别于其它学科最重要就是严谨，复杂证明容易出错。 在计算机发明前就有人提出形式系统，用于规范证明,我将从简单的形式系统讲起，介绍命题逻辑到ZFC集合论。 我还边做边学做了网页模拟器，后来改成了游戏“Deductrium”。