这次我们来看看四维世界中的微观理论之元素周期律。四维原子结构一直是一件麻烦事:力的三次方反比衰减规律导致原子定态波函数不存在,科学界都公认四维世界中不可能有原子,也不可能构成物质,本文完。除了直接接受这个残酷现实,其实还是可以假设有四维世界原子,但其量子力学具体机制肯定跟三维理论完全不同。
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回顾:三维元素周期律
三维元素的周期律是怎么来的呢?简单来说,在微观世界里,一切东西都是量子波。原子核外的电子就是在原子核周围振动的驻波。通过数学方程求解出这些振动模式,叫做电子轨道。又由于电子波函数的特点使得两颗电子不能同时处于完全相同的振动模式,因此每个电子轨道中最多只能容纳两个自旋相反的电子,即泡利不相容原理。
如果读者看了上一篇文章四维空间(十三):超球谐函数介绍的球谐函数,我们就可以开始排元素了:电子的波函数是在三维空间中振动的,除了球谐函数代表球面上的振动,还需要加上径向上的振动,总的振动次数代表着能量,即电子所在的“层”。总振动如果为0,就只有球对称的一种波函数,对应
到了锂元素,能量最小的轨道被填满了,多出来的电子只能挤进下一层——振动为1的轨道。如果振动是径向方向,则波函数还是球对称的,对应能级交错图
有了能级交错原理,继续按顺序填电子下去就可以解释为什么有主族、副族和锕系、镧系……总之,给定角量子数为
练习:二维元素周期律
《平面宇宙》这本书中早就设想过二维宇宙以及里面的元素周期表了。它假设电子还是有顺时针逆时针两个自旋态,也同样遵循能级交错图。我们在上一篇文章中也讨论过圆周上的振动,它们被简单地按振动次数分类,除了常数函数,每种振动次数下都有类似正弦与余弦两种相位的振动模式。振动次数正好对应角量子数,因此除了它的
我们可从中看出,二维世界的主族、副族、镧系锕系的列数都只有4列了,明显比三维的短得多,导致作者根本没必要像三维世界的周期表那样把
二维世界中没有氮元素,碳过了直接就是氧。碳最外层只有3个电子,离6电子稳定结构还差3个,因此甲烷是CH₃而不再是CH₄。同理,乙烯的结构是直线型的H-C=C-H,不再有三键的乙炔存在。除了碳酸之外,不再存在其它的有机酸了,对于醛类也是,只有甲醛没有乙醛了。氧原子倒是没什么变化,水还是H₂O,氟元素及其它卤素不怎么受维度影响,跟三维的差不多。二维世界部分C、H、O化合物的电子式
尝试:四维元素周期律
终于轮到四维了。上一篇文章介绍的有亿点复杂的超球谐函数也总算可以开始为我们服务了。按照角量子数在超球各经纬线上的波动规律,我们可以得到不同亚层的简并轨道个数:Higher Space论坛上的四维元素周期表
从这个周期表来看,四维元素的周期表跟三维的很像,只是主族多了两列,副族多得更长了,而锕系、镧系更加长得不得了,这是
常见化合物
对于四维世界的碳原子的东西最外层只有5个电子,充满最多要10个,所以还多了一种烃。我将碳碳单键的烃还是叫烷烃,它是正五胞体构型的分子,为sp⁴杂化,双键的结构我选择了“烜”(xuan)这个字,它读音切于烷与烯,表示介于烷与烯之间的新烃类,它的分子构型是正四面体型,垂直于四面体胞的两侧有两个未参与sp³杂化的孤电子对。三键的结构则反而类似平面正三角形的烯类,采用sp²杂化,它有两对互相垂直的孤电子对,位于正三角形绝对垂直的平面上。最后直线型的是四键的乙炔,为sp杂化。
注意:元素E(硝)在Higher Space论坛上称为N,元素氮才称为T
刚才我们看到了五价的碳元素,除了一价、二价、三价的氟、氧、氮元素,四维最大的亮点是在碳和氮之间还多了一种四价元素,我最先称之为“砃”,但后来突然想到含氮的化合物一般都叫“硝”,干脆把“硝”作为新元素的名称(该元素在Higher Space论坛上称为N,氮元素才称为T),它的化合价为四价,而但元素的化合价。为什么说它像氮而不是碳呢?因为它最外层有6个电子,还差4个电子达到稳定的全充满结构,最多成四个键,还剩下一个本来就充满的孤电子对,这一点上确实更像氮而不像碳。根据价电子互斥理论我们还能够预测水分子是折线形、氮氨是三角锥形、硝氨是四面体锥形、甲烷是正五胞体形……
真是如此吗?
本来我是打算继续探究苯、氨基酸、脱氧核糖核苷酸等更复杂的有机物的结构的,但我突然想到,四维具有的双旋转效应会不会让电子的自旋状态不再是只有上下两个方向呢?如果是那样,刚才的元素周期表就全部是错的,刚才的分子结构也全错了。为了搞清楚四维电子到底怎么自旋,我们将深入到量子场论中描述电子运动的狄拉克方程,去探究电子自旋的秘密。这部分对物理学与数学的要求比较高,我将它放入选读中,读者完全可以跳过直接看结论。
选读:自旋与泡利矩阵
三维世界中电子的自旋
我们的世界中,电子的自旋一直都是个神秘的现象。类似地球绕太阳旋转有公转自转,电子分别有轨道角动量和自旋角动量。轨道角动量就是电子的波函数在绕着原子核旋转(p及以上的轨道都有),自旋角动量则像是电子的自转。电子是基本粒子,本质上就是一个点,如何感知它在自转呢?探测带电物体自转产生的磁矩即可。
在量子力学中,粒子的位置
电子自旋的量子态到底是什么样子的呢?大家都知道电磁场是矢量场,它也有轨道角动量和自旋角动量:当我们旋转整个空间时,肯定是电磁场在空间中的位置(对应轨道角动量)跟箭头的指向(对应自旋角动量)一起旋转,而不会单独旋转其中之一。电子的自旋也类似于向量箭头,它们都遵循在旋转变换下也跟着变换的这个规则。通过研究旋转群的群表示论可以得出:要想满足旋转变换规则,要么这个东西像个标量(即与旋转无关,一直不变),要么像个向量(像电磁场那样),要么像一些高阶张量(比如引力子像对称二阶张量,类似一个椭圆形,旋转180度后就复原),还可能像旋量——我们在几何代数中介绍过的东西——它在空间旋转360度后符号会反向。人们发现电子的自旋正遵循旋量的变换规律。
当时的人们是通过原子光谱中出现两条很近的光谱谱线的现象来得知电子的自旋磁矩的,并且也说明了电子的自旋角动量分量只能取离散的两个值。科学家泡利弄出了三个“泡利矩阵”,将泡利矩阵乘上
四维时空中电子的自旋
现在就开始上四维可能还很难,先在熟悉的3+1维时空中热热身吧:考虑相对论的电子自旋波函数方程。量子力学中波动方程的核心是,波动的时间频率正比于波的能量
要满足三维时空的几何代数乘法法则,这些狄拉克矩阵至少得是4维的复矩阵,波函数
四维世界中电子的自旋
其实我们稍加改写就能将四维时空中的狄拉克矩阵转变成四维纯空间几何中的“泡利矩阵”。四维时空中的几何代数中
因为角动量是2-向量,因此不妨假设
跟讨论轨道角动量的角量子数类似,设
上图中网格的中心对应所有角动量分量为0的态,灰色网格纵横方向对应
综合刚才两种角动量基底,我们能够看出电子自旋跟轨道角动量性质截然相反:轨道角动量都是简单旋转,而电子自旋都是双旋转。如果电子自旋是简单旋转,则它不可能是本征态,只可能是叠加态,这种简单旋转态是不可观测的,因为只要对电子自旋进行测量,它就会“坍缩”至一个确定的双旋转的状态。
选读中的选读:N维世界中的电子自旋
刚才只是推导了四维世界中电子在空间部分的自旋,在时空中,它需要遵循4+1维时空中的狄拉克方程:里面的5个系数
现在的
对于二维世界也可以套上面的维度公式。二维空间中泡利矩阵的阶为
修正:四维周期表最终版
现在可以对四维原子中的电子自旋下结论了,它确实有左等角“上”、“下”和右等角“上”、“下”四种态,且自旋都是1/2,电子还是费米子。根据泡利不相容原理,同一状态下的费米子所有的量子数不能完全相同,因此一个原子轨道能塞4个电子,相比与二维和三维一个轨道两个电子,周期表的长度会翻倍:
- 每层的s轨道有1个,能填4个电子;
- 每层的p轨道有4个,能填16个电子;
- 每层的d轨道有9个,能填36个电子;
- 每层的f轨道有16个,能填64个电子。
这个周期表非常庞大。我跟网友宁宁一起搓出了一张完整7行的拥有396个元素的周期表(找那么多金字旁的字真是个挑战)。由于从d副族开始就很长了(36列),更不要说锕系镧系(64列),我当时想了两种排版方式:第一种是直接类似三维世界的元素周期表排版,第二种是将d副族就像锕系镧系那样单列出来,然后将锕系镧系的每行也在中间换行。但后来发现第二种太丑了就没采用,第一种虽然很长,但排出来还是很漂亮的:四维元素周期表
这里提供以下几种格式的四维元素周期表:
- 电脑端推荐浏览器网页单独在线查看(注意手机端默认字体似乎显示不全所有字);
- 下载PDF文档;
- 下载png图片;
- 下载可编辑的Excel版,建议同时安装简体Chemical4D字体文件。
顺带提一下周期表的设计思路:
- 参考Higher Space论坛上的元素周期表将其长度翻倍,并将元素列数乘以二填入偶数序数格子中(碱金属、卤素等少数元素例外),奇数号元素为四自旋态电子额外增加的,一般参考前后两个元素的名称或其性质命名,或参考纪念名人(如“El 鏂”纪念数学家欧拉),也有随机或玩梗的。
- 所有三维世界中的元素均在该表中对应位置出现,Higher Space论坛上的元素周期表也遵守了这个规则。
- 选字时均使用的是Unicode中收录的汉字,其中有些字只有繁体版本,我通过编辑字体将其简化。
- 四维生物在绘制这些四维周期表时是在三维纸张上面进行的,表格也应该是3D的,读者可以思考一下具体怎么设计。
能量最低原理与洪特规则特例
三维世界中,填入轨道的电子首先是顺着方向一个一个填,然后再成对反着填。这是因为电子自旋方向一致时能量最低,可以形象想象成电子都是一个个的磁铁,它们会自发保持方向一致。当电子太多了都顺着填要违反泡利不相容原理了,它们才会反着挤到同一个轨道中。三维的3个p轨道逐步填入6个电子
四维世界中我们用四个方向的箭头来代表四种方向的自旋。《四维世界(八):地理与导航》中已经分析过,左手跟右手的等角双旋转磁偶极子相互之间是不会有任何相互作用的。因此我们的箭头之间也是相差90度,它们之间的相互作用能量在取向一致与相反中间。电子会优先以同种手性同种朝向填满所有空轨道,然后是填入另一种手性同种朝向,然后再填入剩下两种自旋方向的电子。四维的4个p轨道逐步填入16个电子
洪特规则特例告诉我们,当电子层处于全充满是最稳定的,半充满也是比较稳定的状态。我们可以假设在四维空间中,电子层中的电子数在1/4充满与3/4充满的状态下仍有一定的稳定性,但这两种状态还是没有半充满与全充满稳定。这导致了一些副族元素的电子排布不再严格按照能级交错的顺序填电子,比如铜的电子排布是3d364s2(3d全充满,4s半充满),而不是3d344s4,跟三维世界的情况是相似的。
常见元素的性质
1 H氕1s1 | 2 D氘1s2 | 3 T氚1s3 | 4 He氦1s4 |
由于电子数翻倍了,我们很自然地就可以假设通常情况下共价化合物不再是共享2个电子成键,而是需要4个电子来成键了。以周期表第一行的氕、氘、氚元素为例,它们可以形成下面这些化合物,从而都达到稀有气体氦的核外电子排布。
这里我借鉴了氢的同位素的名字来为一周期的三种元素命名,它们的单质密度都比空气轻,统称为“氢素”。氕的单质是H4,因为每个氕原子只有一个电子,需要四个凑到一块才能凑够四个电子形成稳定结构。我们看到现在的化学键可以是多个原子之间共同成键,其成键方式比三维的情况丰富得多。从第二周期开始,价电子就有一个s轨道加4个p轨道5个轨道共20个电子了,非金属一般都倾向于得到电子形成氖原子外的核外电子结构。
由于元素周期表长度翻倍,这些元素可能构成的化合物种类排列组合下来要比三维世界中多得多,大概三维世界中需要一小节讲得内容对应到四维世界就是一章。下篇文章我们将探究假想的四维世界中的化学会是什么样的,并跟随探险家的脚步一同前往四维类地行星,分析地表大气成分及各种四维矿石的晶体结构。
思考题
本文最后列出了一些问题留给读者思考一下,参考答案将在下篇文章揭晓。(免责申明:由于都是强行假设,答案仅供参考和娱乐,不代表正确,别把我当成民科喷就行。。。)
- 氕(H:1s1)与氧(O:1s42s42p12)能够形成哪些分子,氘(D:1s2)与氧呢?
- 四维世界的类似“水”的分子的结构有哪些可能?
- 四维世界的类似“苯”的分子的结构有哪些可能?
- 氚(T:1s3)的单质最可能的结构是什么样的?
- 碳单质(C:1s42s42p6)在氧气(O2)中不完全燃烧与完全燃烧分别生成的不同氧化物产物的结构是什么样的?