#警告：本文内容超级进阶，可以说大概包括四维欧几里得空间的所有基础的代数理论了，本文重代数轻几何，所以可能不太好理解
这篇文章将会介绍一种新的可以“统一天下”高维几何的代数系统：几何代数（Geometric Algebra），因为在这个代数体系下包含了标量、向量、多维向量以及各种内积外积混合积，甚至囊括到了旋量（就是让电子转两圈才一样的罪魁祸首）、空间旋转、复数与四元数，矢量场中的各种导数算子，甚至几何代数还能给行列式一个新的定义……
引子
我们在探讨四维空间中的磁场时提到过两个2-向量之间的三种乘法运算：
| 运算 | $e_{ij}*e_{ij}$ | $e_{ij}*e_{jk}$ | $e_{ij}*e_{kl}$ |
|---|---|---|---|
| 内积$\cdot$ | 1 | 0 | 0 |
| 混合积$\times$ | 0 | $e_{ik}$ | 0 |
| 外积$\wedge$ | 0 | 0 | $e_{ijkl}$ |
当时说感觉上是相同字母可以合并相消，不同字母则直接写在一起构成一个多维向量，这样组合下来每一种n-向量刚好对应一种乘法运算。我们不妨规定一种新乘法运算来同时满足上述条件。为了和内积外积区别，新的乘法不用任何符号表示：
- 对于向量$\boldsymbol v$，我们规定$\boldsymbol v^2=\boldsymbol v \boldsymbol v=||\boldsymbol v||$。这是内积的定义。
- 然后我们“强行”把外积的定义也搬进来：对于相互垂直的向量$\boldsymbol u$与$\boldsymbol v$，我们规定$\boldsymbol u \boldsymbol v = -\boldsymbol v \boldsymbol u$。
- 我们再规定这种乘法的结合律、左右分配律对任意k-向量$\boldsymbol A$、$\boldsymbol B$都成立：$(\boldsymbol A \boldsymbol B) \boldsymbol C = \boldsymbol A (\boldsymbol B \boldsymbol C) $，$(\boldsymbol A+ \boldsymbol B) \boldsymbol C = \boldsymbol A \boldsymbol C +\boldsymbol B \boldsymbol C $，$\boldsymbol A( \boldsymbol B+ \boldsymbol C) = \boldsymbol A \boldsymbol B +\boldsymbol A \boldsymbol C $。
这个新的乘法就是几何积。为了统一，我们规定标量是0-向量。
