神奇的双曲世界

在我多年前的旧文《双曲空间——数学艺术》中介绍了双曲空间这一数学几何概念，不久前《闵氏空间与常曲率空间》也再次提到了它。类似四维空间系列与四维世界系列，本文将讨论双曲空间世界中的一些有意思的物理现象。在这个blog上我花了大量笔墨介绍了一个想象之中的四维世界，同时也介绍了通过非欧几何构造出来的双曲空间的世界、p范数世界等，甚至还有反演地球、氧化剂还原剂星球等纯脑洞的世界……从这篇文章起专门开一个“奇特世界”系列来介绍一些除四维世界之外的脑洞想象。

由于前面第一篇文章主要在给读者形象展示双曲空间，后一篇文章又着重于将在闵氏空间中的构造方法，都没有系统认识双曲几何，因此我们先补充介绍一些之前没提到的几何性质，然后我们将基于此描述一个想象中的双曲宇宙，探讨里面的力学、天文学……

直线、圆、极限圆与等距曲线

双曲空间是无限大的，虽然在三维闵氏空间中的双曲面上定义双曲空间是最直接的，但庞加莱圆盘模型却是视觉上最方便的。越靠近庞加莱圆盘边缘的物体会看起来变得越来越小的这些性质相信读者应该已经掌握了（参见《双曲空间——数学艺术》）。我极力推荐大家玩《Hyperrogue》这款二维双曲空间冒险游戏，甚至我觉得如果专门搞数学研究非欧几何，这个游戏都没玩过那就可惜了。下面就来看看一些简单的几何概念：

直线

我们知道，双曲空间的最大特色之一是它不满足欧几里得几何原本中的第五公设，这里就不再说了。之前文章提到过，在三维闵氏空间中，过原点的平面与双曲面的交线就是直线，这类似于过球心的平面截球面得到球面直线（即大圆/测地线）。双曲空间中的直线（测地线）在庞加莱圆盘投影中有个这样的性质：它们都是一些圆弧，且跟圆盘边缘垂直相交。

下图反映了双曲空间关于平行公理的最重要的性质：过定点平行于$a$的直线有无数条(如$d$、$e$、$f$)。无限的欧氏平面比封闭球面大得多，不要看它的庞加莱投影是个有限的圆，某种意义下双曲世界要比欧氏平面大得多！比如平行线$a$、$b$之间还能以这种欧氏空间中不敢想的方式容纳新的平行线$c$！

圆周

双曲空间中也可以定义圆：还是到给定点距离为常数的点的集合。注意这里的半径现在变成了一段测地线（即上面定义的直线），测地线段（半径）的长度也是按双曲距离算的。注意庞加莱投影会将边缘附近的图形缩小，这就解释了下图圆的圆心为什么会在偏下的位置。

由于双曲世界平行线发散的特性，双曲圆周的周长和面积将随着半径指数级增长！比如下面三个半径分别为1/2/3格的圆圈，它们经过的格子数可以在下图中数出来分别为：7/14/28，这是个等比数列。如果圆的半径超过十格，周长将达到上万格！从庞加莱圆盘的投影中能看到，圆周离边缘越近，能“装下”的面积块数就越多。

类似直线，下面给出两种模型中的圆周：

1. 球面上的一般的圆周由不过球心的平面截球面得到，类似地，我们可用不过原点的平面去截双曲面，但与球面情况不同的是，截线有可能封闭，也有可能不封闭。如果截线是封闭图形，那么它就是圆。为什么呢？很明显我们用垂直于双曲面对称轴的平面切曲面，会得到一系列圆周，容易验证它们在闵氏几何度量下也是圆周，对于任意的平面，我们总能通过双曲旋转将它转到垂直于双曲面对称轴，所以就验证了这些封闭图形都是圆。
2. 双曲几何中的圆周通过庞加莱圆盘投影后依然是圆周，这类似球极投影的保圆性，但它们投影后圆的圆心与圆心实际位置往往不再重合。

极限圆

双曲世界牛就牛在存在有些欧氏空间不可能的图形。比如极限圆：它是圆心在无穷远处、半径无限大的圆。在欧氏空间，半径无限大的圆就是直线，但双曲世界中极限圆是有曲率的。下面给出一些极限圆的性质：

1. 极限圆在庞加莱圆盘投影中与圆盘边缘相切。注意不要以为从极限圆上的相反方向走最终会相互靠近，这只是投影压缩边缘带来的错觉，事实上只会越走越远。
2. 极限圆跟圆一样高度对称的图形，且所有极限圆的曲率都相同，从这个意义上可以说它们都是一样大的。（下图明明是史密斯圆图）
   
3. 三维闵氏空间中，极限圆是由平行于双曲面任意渐近线的平面截得的抛物线。

在没有方向指引的情况下，深入极限圆的内部是非常困难的，你必须正对无穷远处的圆心方向前进，只要有稍微偏离，要不了一会你就会走出极限圆！《Hyperrogue》里面的这个生物群系中的岛屿就是一座座极限圆，建议大家亲自去体会一下。里面会有零星的指南针指向极限圆的圆心，只有跟着它们的指引才能继续深入岛屿内部。

等距曲线/超圆

我们知道，圆周的半径越大，曲率越小。双曲空间也是如此，但极限圆曲率的存在表明，还有比极限圆弯曲度更小但又不是直线的图形。其实我们不难想象，按圆到极限圆的发展规律，这种曲线在庞加莱投影中应该是与边缘相交的圆弧，它的圆心比无穷远都还遥远，是一种超越无穷的存在！这就是等距曲线(Equidistance Curve)，也叫超圆（Hypercircle）。其实可以绕过无穷来定义它。我们知道两条初始平行的直线之间的距离会越来越远。如果强行做一条与已知直线距离处处相等的“平行”线出来，就得到了等距线！我们把这条直线叫等距线的轴，等距线到直线的距离叫等距线的半径。半径为0时，等距线与直线重合，半径越大曲率就越大，半径无限大的等距线会变成极限圆！
球面上，直线的等距曲线就是圆周，它比直线要短。类似地，双曲空间中的等距线要比它平行的直线更长。Hypperrogue游戏中有个生物群系，里面人物走过的方块会掉落，敌人追击沿测地线方向逃跑的玩家时，它们只能走等距线，由于等距线比直线长，要不了多久敌人就追不上玩家了。
三维闵氏空间中，平面截双曲面可以得到封闭的椭圆、抛物线、双曲线，它们就对应了圆、极限圆与等距曲线，注意有个例外：如果平面截双曲面过原点（此时截得的也是双曲线），得到的不是等距曲线而是测地线。

双曲宇宙构想

虽然我们一直都讨论的是二维双曲世界，但这些几何运动规律在更高维双曲空间中都还是成立。Hyperrogue游戏的世界观其实是玩家在一个无限大的双曲平面上走动，虽然游戏没有涉及第三个维度，但从人物的形状是俯视图来看，Hyperrouge世界是有第三维的，只是无法控制角色在高度方向移动。类比到欧氏空间就是玩家在无限大的平地上走。然而真实世界没有无限大的地面，我们是生活在地球上的，所以，能否构造双曲星球与双曲宇宙呢？

是的！我们试着描绘一个三维的双曲宇宙：跟我们世界类似，里面有无数的星系，可能存在一个球形的星球，那上面的条件适宜，可能孕育生命……这个故事不会与我们的真实世界有什么不同，其实双曲宇宙最明显的特征是曲率。如果曲率足够小，且活动范围也小，我们几乎无法区分平直空间与双曲空间。因此我们只能假设该宇宙的曲率非常大，大得像Hyperrogue世界的比例那样，就会带来一些有趣的效应：

1. 双曲世界中的导航很难，很容易迷失方向。（在Hyperrogue游戏中应该早已体会）
2. 一颗小小半径的星球的表面积、体积异常的大，几乎是个天文数字。

受游戏的启发我们不妨再想象一些大胆的东西：是否存在极限球形状的无限大星球呢？或许更疯狂点，连无限大半空间星球都能够存在呢？平坦宇宙中，如果存在一个星球占据了整个宇宙的一半，那么这个宇宙最多还能塞下另一个这样的星球。双曲世界则不然，它能同时包含无穷个半空间星球！有一个致命问题则是这些星球的引力，如果计算出来都是无穷大就没意义了。后面我们就来一步步推导双曲宇宙中的（经典）万有引力定律！在探索这个复杂问题之前我们先看看一些简单的双曲世界牛顿力学的规律。

双曲世界中的刚体运动

世界上有那么多变换，比如平移、旋转、缩放、拉伸、扭曲、翻转等。但平时生活中的刚性物体只能进行平移和旋转两种操作，这是为什么呢？答案是因为空间中只有平移旋转变换才能连续进行时始终保持刚体内点与点之间距离不变。

平移

欧几里得几何中，刚体平移时，所有点运动轨迹都是平行线，因此能保证距离不变。双曲空间中的情况呢？平行线发散不能保持距离，没思路了？我们可以先看看球面几何：想象一个二维物体正在二维的球面世界中“匀速直线”运动，它的质心轨迹是球面上的大圆。姑且把这个大圆当作赤道，则赤道以北的点的运动轨迹是小圆，不再是测地线！小圆是有曲率的，这意味着它肯定受到了力的作用才会“偏航”测地线——如果按测地线走，物体的各部分会上下挤压在一起，反抗挤压的弹力正好充当了走小圆的向心力，让物体保持不变形。

双曲空间与球面空间的效应是恰好相反的。在双曲空间中运动的物体端部要想保持与质心距离不变就必须走等距曲线，等距曲线是有曲率的，因此会受到垂直运动方向拉伸的力，这也可用之前提到的测地线发散来解释。这些事实就说明，双曲/球面世界中物体的运动是存在绝对速度的，可以通过测量物体内部应力计算得到，同时双曲空间中物体还存在这由结构强度决定的速度上限，速度超过它物体就会解体。这是曲率带来的潮汐力效应，类似天体力引力学中的洛希极限（广义相对论中引力不也是曲率效应嘛）。

是不是觉得这个世界中有绝对静止参考系而感到有点可惜？其实考虑相对论确实能解决这个问题。双曲空间考虑相对论的版本就是之前文章中提到的反德西特时空，这里就不讨论了。

旋转

大家都知道旋转必须要提供足够强的向心力，否则物体各部分会被甩出去，因此旋转角速度大小是个绝对的物理量，也存在跟物质结构有关的旋转速度上限，双曲、球面世界也一样。关于旋转，双曲空间还有一个特殊的，那就是理想旋转：这时一种中心在无限远处的旋转，所有参与运动的点的轨迹都是极限圆！极限圆的曲率是有限的，这种旋转需要的向心力实际是能够提供的，只是要注意同样角速度下，线速度与半径的关系也是指数级的。
数学上可以证明，双曲空间中的刚性变换只有三类：双曲型、椭圆型、抛物型，它们分别对应平移、旋转与理想旋转。这个网站有关于双曲空间中的刚性变换的详细说明分析，配图也很精美：

最后提醒大家一下：球面几何的刚性移动只有一种：旋转，因为沿赤道的平移跟绕南北极点旋转是完全一样的。

场与高斯定理

下面就来探讨双曲星球的可能形状与引力：牛顿力学下引力场跟电磁场是高度类似的，比如三维平直空间中它们都平方反比衰减、四维平直空间中都立方反比衰减……究其源头则是总“场线数量”守恒与空间对场线的“稀释作用”，这在四维世界的引力推导中都有提到。我们先来推导一下二维平坦世界点电荷$q$的电场强度$E$随距离$r$衰减函数$E(r)$。作两个半径为$r_1$与$r_2$的同心圆，根据对称性，电荷$q$发出的所有电场线都穿过了两个同心圆。这个通量可以通过场强乘以圆周长得到，于是有$2\pi r_1 E(r_1)=2\pi r_2 E(r_2)$，即$2\pi r E(r)$为常数，得到$E(r)$与距离倒数成正比。

下面我们就依葫芦画瓢解决双曲空间中点电荷电场问题。只要我们知道圆的周长公式就好了，电场就是被这些随距离越来越长的周长稀释了的。之前有提到双曲空间中周长随半径将指数级增长，因而电场将被指数级稀释衰减，也就是说引力的作用范围将大大减小，估计不会存在大型星系的可能。虽然这是个坏消息，但它给无限大星球的引力无限问题带来了曙光：或许这种指数衰减效应不会让引力无穷！我们需要定量计算分析。

球面宇宙悖论

在继续往下计算之前，我们试着想想球面世界中点电荷的电场如何衰减。一个神奇的现象出现了：球面上一个单独的点电荷的电场线没有地方可延伸，反而可能有聚拢的倾向，电场线只从正电荷发出，但没有地方可以终止，这本身就违反了总“场线数量”守恒！还有更神奇的：我们知道空壳带电体的内部是没有电场的，到了球面宇宙，一个物体的内外概念变得模糊不清了：

其实欧氏空间中有种观点认为，孤立正电荷的电场线从电荷发出，终止于无穷远，就好象无穷远处有一个感应出的等大的负电荷一样，或许我们可以同样假设球面世界中的正电荷会在球面背面对径点感应出等大的负电荷，这样电场线就有始有终了！这种电荷跟真实电荷有什么区别？会像虚像那样用手抓却抓不到吗？其实不存在什么“感应电荷”，所有电荷都是真实的，只是封闭的球面世界中必须要满足总电荷代数和为0的规矩，电荷也没必要一定正好两两出现在球的对径点。比如只含有一个电偶极子的球面宇宙也是可以存在的：
然而球面世界中的引力却有大问题：跟电荷不同的是没有负质量的物体。除非没有物质，否则永远不能实现总质量为0。注意我们都是在经典力学框架下讨论这个问题，在广义相对论下，引力不再是矢量，也不适用高斯通量定律，这些问题也就不复存在了，德西特宇宙中是可以有物质的。

球面几何相关公式推导

为了定量计算引力衰减，下面推导球面几何与双曲几何中的圆周长、面积等表达式。Hint: 如果你对公式推导不感兴趣可以快速跳过此节哦。

球面圆周长公式推导

这是中学难度的问题了。已知圆的半径$r$，则对应三维空间中球面上这段弧的圆心角为r（这是弧度的定义）要求圆的周长就需要知道它在三维空间中的半径，这个半径是圆心角的正弦值，即$\sin(r)$，于是我们得到球面圆的周长公式：$$c(r)=2\pi \sin(r)$$
从这个公式可看出：

1. 球面圆周长随半径先增大后减小，当半径为$\pi$时圆的周长变成了0，此时圆周已经在圆心的对面缩成了一个点。
2. 当半径很小时，$\sin(r)\approx r$，球面圆周长公式与平面圆周长公式相同。

球面圆面积公式推导

面积的计算本来是比较复杂的，但由于我们已经知道球面圆周长公式，可以通过积分计算面积：将实心圆分割成非常多的同心小环，这些小环的周长乘以环的厚度累加起来就是整个圆面积。不信我们可以推导一下正常的欧几里得圆面积：
$$S(r)=\int_0^r2\pi u \mathrm{d} u=\pi r^2$$
同理我们直接把球面圆周长表达式对半径积分即可得球面圆面积：
$$S(r)=\int_0^r2\pi \sin(u) \mathrm{d} u=2\pi(1-\cos(r))$$
注意$S(\pi)=4\pi$，此时球面圆覆盖了整个球面，正好是总球面表面积。

双曲面模型

双曲线在庞加莱圆盘中的距离公式有点复杂，我们不妨换用闵科夫斯基空间中的双曲面模型来计算圆周长。如果读者不清楚闵科夫斯基空间与双曲角等概念，请阅读《闵氏空间与常曲率空间的几何》这篇文章。

双曲圆周长公式推导

在双曲面模型中，双曲世界是下面的在三维闵氏空间中的双叶双曲面：
$$x^2+y^2-z^2=-1$$
我们不妨将圆心选在$z$轴上，即$(0,0,1)$这个点处，以它为圆心的圆周可以用平行$xy$平面的面截双曲面得到。从下图可以看出，圆的半径其实对应一段双曲线的弧长$r$，它可以由双曲角衡量$r$。这个圆在闵科夫斯基度量下的周长如何计算呢？闵氏空间的勾股定理为$ds^2=dx^2+dy^2-dz^2$。又由于整个圆的垂直于$w$轴，$dw$为0，所以对于这个圆周来说，它完全是按正常的$ds^2=dx^2+dy^2$下的距离来计算周长，即用公式$2\pi R$计算，只是这里的半径$R$对应的是三维空间中的半径。类似圆里面的三角函数，已知双曲角，计算横纵坐标则使用双曲余弦函数，纵坐标则为双曲正弦函数。但是这里的双曲线比起定义双曲函数时旋转了90度，因此比如图中的横坐标是圆半径的双曲正弦$\sinh(r)$。于是我们最终得出双曲空间圆周长公式为$2\pi \sinh(r)$。对比一下球面球面圆周长公式：$2\pi \sin(r)$，它们的差别就是在各自的三角函数上。当$r$很小时，$\sin(r)$与$\sinh(r)$都趋近于$r$，均与欧氏空间中圆周长公式相同。

双曲圆面积公式推导

周长算出来了，面积自然通过积分就能快速得出：

$$S(r)=\int_0^r2\pi \sinh(u) \mathrm{d} u=2\pi(\cosh(r)-1)$$

当$r$很小时，这个圆面积公式会跟$\pi r^2$一样吗？答案是肯定的：取$\cosh(r)$的泰勒展开的前面两项$\cosh(r)=1+r^2/2$即可验证。

双曲等距曲线距离公式推导

后面计算半平面星球引力会遇到直线与等距曲线的长度比较问题。前面说过，与直线平行的等距曲线比直线要长。具体长多少呢？这两条线都是无限延伸的，必须要规定一种比较长度的方法，否则讨论谁更长的问题就没意义了。由于它们之间距离处处相等，因此最直观的做法是在两条线之间做许多长度相同的垂线段，可以验证，两条垂线段之间夹的线段长度之比是与垂线段的选取无关的，虽然总长度都是无穷，但可以通过这个比例知道等距线到底长多少。

距离直线为$r$的等距线，它的长度是直线的多少倍呢？这种看似无法下手的几何问题都可以先从球面空间入手。球面上，北回归线与赤道就相当于等距曲线与直线。很容易验证它们之间垂线段之间所夹的弧长之比就是两个圆的周长之比，设球半径为1，则球面距离为r的等距圆周的半径为$\cos(r)$，圆周长之比就是半径之比，因此我们得到球面上与直线相距$r$的等距曲线的长度是直线的$\cos(r)$倍。

下面轮到双曲面了。与球面类似，双曲空间中的等距线与直线可以由一组平行的平面截双曲面得到，只是一个过原点，一个不过。从代数上可以证明，这两条交线都是双曲线，它们的形状是相似的，不严谨地说，我们可以根据“半径”之比来计算双曲线长度之比。这从几何上确实不是显然的，但通过代数计算可以验证。可以看到，给定双曲距离$r$后，这里的半径为$\cosh(r)$，这就是等距曲线与直线的长度之比。

对称星球的引力分布

有了上面推导的几何公式，我们就可以计算二维宇宙中各种形状星球的引力了。

圆形星球的外部引力分布

这个情况是最简单的。推导过程与平直空间中的是一样的，只是注意圆的周长公式$c(r)$不再是$2\pi r$了。
作两个半径为$r_1$与$r_2$的同心圆，根据对称性，电荷$q$发出的所有电场线都穿过了两个同心圆。这个通量可以通过场强乘以圆周长得到，于是有$c(r_1) E(r_1)=c(r_2) E(r_2)$，即$c(r) E(r)$为常数，得到$E(r)$与周长倒数成正比。
平直空间中，$c(r)=2\pi r$，因此场强随距离反比衰减，而双曲空间中$c(r)=2\pi r \sinh(r)$，双曲正弦随距离指数增长，因此$E(r)$随距离也指数衰减。我们通过计算证明了前面对双曲宇宙的猜想：所有相互作用都衰减得很快。

圆形星球的内部引力分布

如果我们在生活在双曲世界的球形星球上，向地心挖一口竖井，井里面的人感觉到的引力会怎样变化呢？这个问题跟平坦空间中的处理相似，设星球半径为$R$，竖井底部距离地心为$r$，则竖井底部的人感受到的引力大小仅为脚下半径为$r$的球的贡献。为什么呢？挖掉脚下的球后，竖井底部的人就位于一个空壳星球的内壁了，因此不受引力。
假设该星球的密度是个常数，我们就可以通过圆面积来计算脚下的部分的质量，从而计算引力。设双曲空间半径为$r$的圆的面积为$s(r)$，则竖井中的引力是地表引力的${s(r)c(R)\over s(R)c(r)}$倍，代入之前推导出的具体公式得到：
$${(\cosh(r)-1)\sinh(R)\over(\cosh(R)-1)\sinh(r)}$$
下面我们可以画出一个完整的双曲空间二维圆形星球的引力分布：

如果星球半径远小于空间曲率半径，则引力分布退化到平直空间中的情况：星球内部为线性引力，外部为反比衰减引力。

极限圆星球的引力分布

终于来计算无限大星球的引力了！刚才的那些计算是利用了图形的对称性才能进行，因此仿照点电荷围圆周的方式，我们需要构造极限圆的一系列等距曲线，只要搞清这些等距曲线之间的周长之比就能知道电场如何被稀释。很明显圆周的等距曲线应该是同心圆，顾名思义，极限圆是普通圆的一种极限。因此当星球半径非常大时，它的场强就跟极限圆无限大星球引力场分布接近了：


对于真正的极限圆星球，通过求极限不难得出，星球外部的场强与距离是标准的指数函数关系，星球内部的引力则为常数！当然这样的星球引力要想在表面为有限值，还需要密度接近于零才行，也就是说只存在一颗由几乎无限“轻”的超低密度材料构成的极限圆星球，它表面的引力为有限值。

半平面星球的外部引力分布

过了极限圆，就该是等距曲线与半平面星球了。我们首先来看看简单一点的半平面星球。半平面星球是无限大的，而且不能通过继续增大圆的半径得到，因为继续增大极限圆的半径还是得到极限圆，即之前画出的无限多同心的极限圆，因此我们必须重新计算半平面星球的引力。根据对称性，垂直于引力方向的是一圈圈等距曲线，虽然等距曲线的长度无限，但由于存在上面提到过的几何效应，随距离$h$增加场强确实会按照$\cosh(h)$被指数级稀释。想象整个宇宙被一分为二，一半实心的固态星球，一半真空的宇宙。然而由于双曲空间的特殊性，稍微远离星球后，它的引力将会指数级衰减，再远一点后这颗星球将快速从视野中消失。剩下的那一半真空的宇宙中完全可以容纳无数颗同样大小的半平面星球，其中每一颗星球都有宇宙的一半大！

半平面星球的内部引力分布

下面我们继续计算半平面星球内部的引力场：即挖深度为$d$的竖井，底部的引力大小。根据对称性我们同样做出与地面平行的等距曲线，从下图我们可以看到半平面星球内部的引力特殊在某种意义上你脚下的土地比整个星球还：在一定深度的竖井中感受到的重力等效于脚下的等距曲线下方的部分（黄色+红色）的总引力，但星球的这部分却不仅又包含了另一个整半平面星球的物质（红色），还多包含了黄色区域的物质，相对与地面来说引力会变得更大，且黄色部分的引力合力方向是向上的，这就有大问题了，因为如果星球表面引力为向下的有限值，则在竖井超过一定深度后引力会衰减到零，然后再往下人们不觉得自己在井底，他们反而觉得在“顶部”，一不留神就会有往上掉的风险！还有个效应：你如果在星球地表下足够深的位置保持海拔高度飞行，需要提供指向天空的向心力！这个向心力在一定条件下是可以由重力来提供的！但后面稍加计算表明，这种无限大的星球的引力很难通过求极限得到一个合理的有限的值，因此我倾向于实心的半平面星球是无法合理构造的，那些从井底“掉上去”的诡异的事情其实是没有机会发生的。

如果我们弱化一些条件还是可以得到有意义的无穷大星球的。比如一种像一个带子一样的无限长的壳状星球，它以一条直线为中心，以两条等距线为表面，将宇宙一分为二。这个无限大天体的引力是有限的。

三维双曲宇宙

刚才讨论的都是二维宇宙中的情形，跟我们的宇宙差别很大。如果宇宙是三维的，计算星球引力的方法其实也大同小异，只不过求圆的周长变成了求表面积，求面积变成了求体积，求等距曲线与直线的长度之比变成了等距曲面与测地面（平面的类比）对应的面积之比……
下面给出相应的几何公式：

• 半径为$r$的球的表面积：$4\pi \sinh^2(r)$
• 半径为$r$的球的体积：$\pi(\sinh(2r)-2r)$
• 相距为$d$的等距曲面与测地面的面积比：$\cosh^2(d)$

三维与二维双曲宇宙的星球引力衰减性质也很类似，球形星球外部引力为双曲正弦平方反比衰减，这跟指数衰减也没什么区别，因为$\sinh^2(x)$增长速度会迅速趋于$\exp(2x)/4$、极限球星球内部同样引力为恒定值……这些引力变化曲线这里就不再画了。下面给出球、极限球的内外引力场的表达式：

• 半径为$R$的星球距球心r处的场强：
  $$r<R:k{(\sinh(2r)-2r)\sinh^2(R)\over(\sinh(2R)-2R)\sinh^2(r)}$$
  $$r>R:k{\sinh^2(R)\over\sinh^2(r)}$$
• 距极限球表面距离为r处的场强：内部：$k$
  
  外部：$k\exp(-2r)$

生活在这些双曲世界中的直观体验是什么样的呢？国外已经有游戏做了：Hyperbolica，我之前有介绍过它。这个游戏世界是半空间星球，作者没有考虑高斯定理，设定引力是处处相同的，直接回避了前面指出的无穷大体积的星球的无限引力悖论。

极限球星球的几何

关于极限球形状的星球其实还有一些有趣的地方：

1. 这颗极限球星球上的测地线是什么呢？想象球面上的赤道和小圆，显然赤道是“直”的，没有曲率，而小圆则有。极限球星球也相当于一种双曲宇宙上的“小球”，它表面是有曲率且是常曲率的。极限球是普通球的极限，那么它上面最直的线（即测地线）自然就是大圆，又由于极限球的球心在无穷远处，所以这些大圆都是通往无穷的极限圆。
2. 仿照球面三角形、球面圆，我们也可以定义一种在极限球表面上的极限球面圆，它的周长与半径之间的关系是什么呢？计算发现周长公式居然就是$2\pi r$，与平面情况完全相同，这是怎么回事呢？首先极限球面圆的半径$r$是极限圆上的一段弧长，这个圆在真正的双曲空间中的半径应该是极限球内部的一条弦的一半，即图中$r’$。我们知道双曲空间中周长与半径成指数关系，即$r’$较短的时候圆的周长却可以很长，同理当弦较短的时候对应的极限圆弧也可以很长，这两个指数关系约掉后，在极限球面上反而恢复成了跟平直的二维平面相同的情况。
   
   其实极限球表面的度量完全与二维欧氏平面等价，这颗星球的世界地图可以完全绘制在平面上且保证任何地方都没有扭曲！可惜这幅零曲率的世界地图反而却无法很好地放进星球所在的负曲率双曲宇宙中……
   

天体运动的稳定性

我们已经见证过不同维度下、甚至不同范数空间下的宇宙的恒星-行星系统轨道的稳定性问题。到了双曲空间，引力衰减从多项式变成了指数，变化更为剧烈，那是不是意味着没有稳定的行星轨道呢？我们不妨来计算模拟一下。标准做法是计算能反映弯曲空间与平直空间导数算符差异的“克氏符”，就来修正曲率导致的测地线偏移，这些繁琐的微分几何计算让我很头痛，差点都不想写了。后来我想到一种直接在双曲面模型上求解的方法，它应该更有趣还可以顺便绕过微分几何——想像怎样计算固定在球面上的质点的运动：质点不受力时它的轨迹是大圆，因为它只要在球面上运动就必须受球面法线上的与速度平方成正比的向心力的作用，正是这个力将它约束在球面上。我们可以如法炮制计算双曲面上运动质点也与速度平方成正比的一种力来让质点固定在双曲面上。引力模型就更简单了，首先通过反双曲函数把双曲面模型中的距离转换为双曲面内的双曲距离，然后通过之前的公式计算引力大小，引力的方向则是双曲面上该点与原点连线的切向量，质点总共受到切于双曲面的引力与法线上的约束力，这样就可以列出运动学方程进行数值求解了。注意这些向量都是在三维直角坐标系中计算，算上双曲面方程的约束条件其实就是有两个变量的微分方程，如果我没算错，它应该与“克氏符”计算结果相同。
点击这里可以显示/隐藏我计算的所有过程

考虑单位双叶双曲面$z^2=1+x^2+y^2$作为双曲空间的几何模型，设中心天体位于$(0,0,1)$处，行星位于$(x,y,\sqrt{1+x^2+y^2})$，我列出一部分方程，如果有算错欢迎指出：

• 行星受到的引力方向为双曲面上连接$(0,0,1)$与该点的测地线在行星处的切线，测地线由过原点的平面所截，所以该切线在原点、行星、太阳三者确定的平面内。基于此几何关系可推出行星受到的引力方向的单位向量为$\tau(x,y)=(k x, k y, \sqrt{x^2+y^2})$，其中$k=\sqrt{1+{1\over x^2+y^2}}$；
• 若行星位于$(x,y,\sqrt{1+x^2+y^2})$，则它与中心天体的双曲空间内部距离为$d(x,y)=\mathrm{arcsinh}(\sqrt{x^2+y^2})$
• 由于我想让微分方程只含字母$x$、$y$与时间$t$，因此需要用$\dot{x}$与$\dot{y}$来表示行星的速度矢量大小。注意行星在双曲面上运动，z轴也有速度分量，直观来看，$(\dot{x},\dot{y})$只是三维速度在xy平面上的投影，我们可以将三维速度按平行和垂直于与中心天体连线方向来分解，这两部分投影到xy平面上速度大小的变化倍率分别为$\sqrt{1+x^2+y^2}$与$1$。根据这个关系可写出三维速度向量的大小的函数表达式$$v(x,y,\dot x,\dot y)=\sqrt{\frac{\left(x^2+1\right)\dot y^2-2x\dot xy\dot y+\dot x^2\left(y^2+1\right)}{x^2+y^2+1}}$$
• 行星受到约束力方向为法线，即原点指向该行星方向。这部分的加速度为速度的平方除以半径1，即$(x,y,\sqrt{1+x^2+y^2}) v^2(x,y,\dot x,\dot y)$。
• 设维度为$n$，引力系数$G$里面吸收掉行星质量，则行星受到的加速度为$-{\tau(x,y) G \over \sinh^{n-1}(d(x,y))}$
• 将加速度表达式的$x$与$y$分量写出得到最终的微分方程：$$\ddot x=v^2(x,y,\dot x,\dot y)x-{G\tau_x(x,y) \over \sinh^{n-1}(d(x,y))}$$$$\ddot y=v^2(x,y,\dot x,\dot y)y-{G\tau_y(x,y) \over \sinh^{n-1}(d(x,y))}$$

好在计算出的这一大堆东西可以直接扔给Mathematica计算，最终得到结论与之前讨论的平直空间、甚至是p-范数空间都一致：三维空间中行星轨道不仅是稳定的，而且还是那种一点进动都没有的封闭轨道，可以说是这个结果是非常漂亮的。小于三维的空间中行星轨道为花瓣形，有进动，而大于三维则轨道不稳定。为什么四维空间的三次方反比轨道不稳定而双曲空间中指数衰减的引力轨道还是稳定的呢？我认为是空间也在指数增多，某种程度上起到了一种负反馈的作用。仔细看上面的隐藏的公式推导你就会发现指数级的双曲正弦与反双曲正弦约掉了，方程中没有任何关于$x$与$y$的指数项。（前提是但愿我没算错啊啊啊~~~）

二维双曲世界跟平坦空间一样会产生花瓣状的进动，当初速度大过一定范围后Mathematica报不收敛的错误，因此无法验证是否有逃逸轨道。但是通过能量可以计算验证将一个质点从有限距离拿到无穷远处所需的能量是有限值（广义积分$\int^{+\infty}_r \mathrm{d}x/\sinh(x)$收敛），所以不会像二维平直空间那样没有逃逸速度。

四维双曲空间轨道仍然不稳定：红蓝两个轨道初速度的相对误差仅仅只有百亿分之一，它们仅在绕天体两圈后就有了截然不同的命运：

最后有个奇怪的事情是，若天体之间不是万有引力而是靠弹簧来连接（即正比于距离的有心力），在平坦空间中行星的轨道是封闭的椭圆形，但随着双曲空间曲率的增加椭圆轨道将会产生越来越大的进动变成花瓣形。但为啥平方反比于距离的引力下行星为什么就没有一点点的进动？或许是我的计算有问题，亦或事实即如此且背后还有个深刻理论？希望能有大佬解答……

中心天体位于无限远处

最后来挑战一下计算中心天体在无穷远处（跟极限圆星球外部引力分布相同）情况下行星环绕它的稳定性。注意此时行星的环绕已经不是周期性的运动了，因为极限圆的半径周长都是无限的。如何计算引力呢？首先要明确的一点是我们无法计算行星到无穷远的距离，但可以通过引力随距离指数衰减的规律找到行星与一个参考点（如原点）到中心天体的距离差来计算引力的比例。其次就是计算引力的方向：它沿过无穷远点与行星的测地线在行星处的切线方向。具体如何计算呢，我们还是可以在双曲面模型中来完成所有的计算！这里同样隐藏计算过程，想看推导请点击此链接展开。

还是考虑单位双叶双曲面模型$z^2=1+x^2+y^2$，假设中心天体位于$(+\infty,0,+\infty)$，行星位于$(x,y,\sqrt{1+x^2+y^2})$，则：

• 上篇文章提到极限圆是由平行于双曲面任意的渐近线的平面截双曲线得到的，据此通过观察可直接写出所有过$(+\infty,0,+\infty)$的极限圆所在的平面方程为$z=x+k$，代入行星坐标就可以求出行星所在的极限圆所在平面方程中$k=\sqrt{1+x^2+y^2}-x$；
• 为计算引力大小，接下来求这个极限圆与过$(0,0,1)$的极限圆之前的距离（即无穷大的两半径差）。由于连接$(0,0,1)$与$(+\infty,0,+\infty)$的测地线是一条最好算距离的极限圆的半径方向，所以我们需要求行星所在的极限圆与这条测地线的交点坐标，它可由同时联立双曲面、极限圆所在平面与xz坐标面三个方程解出：$({1-k^2\over 2k},0,{1+k^2\over 2k})$。很明显这两个极限圆的距离为该点到$(0,0,1)$的距离，即一段双曲弧，我们通过标准的反双曲函数的定义可求出距离$d=\mathrm{arcsinh}({1-k^2\over 2k})$，则根据前面的引力公式得到行星受到的引力大小为$G\exp(2d)$。
• 为计算引力的方向，首先找出连接行星与无限远中心天体的测地线的方程。观察可知，所有过无限远中心天体的测地线均由抛物面与平面$k_1(z-x)=k_2 y$相交得到，把无穷远点$\lim_{x\to \infty}(x,0,\sqrt{1+x^2+0^2})$）代入方程即可验证。现在代入行星坐标，得到$k_1(\sqrt{1+x^2+y^2}-x)=y k_2$。注意这里不把$k_1/k_2$或$k_2/k_1$视为一个参数是因为要考虑$k_2$或$k_1$为零的情况。
• 接下来求解切线方向。联立平面与抛物面方程消去$z$，将$y$看作$x$的函数$y(x)$，通过隐函数求导的技巧，可以算出这条测地线y方向对x方向的导数满足方程：$$k_1({x+y y’\over z}-1)=k_2 y’$$通过以上方程求出$y’=\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$即知道了切线y与x分量之比：$$(y^2+z(x-z))\mathrm{d}y=-y (x-z)\mathrm{d}x$$
  我们可假设单位切向量$\tau=(a (y^2+z(x-z)),-a y (x-z),b)$，联立单位向量长度为1的条件与切向量始终垂直于行星的坐标向量这两个条件来求解待定系数$a$与$b$：$$\tau.(x,y,z)=0$$ $$|\tau|^2=1$$
• 此时终于可以写出行星的运动方程了，注意加速度除了引力项还应该有之前已经推导过的曲面约束力项：
  $$\ddot x=v^2(x,y,\dot x,\dot y)x+G\tau_x(x,y) \exp(2d)$$$$\ddot y=v^2(x,y,\dot x,\dot y)y+G\tau_y(x,y) \exp(2d)$$

从计算结果上可发现，由于极限圆周长是无限的，所以行星要么持续接近中心天体要么远离，因为行星永远也到不了位于无穷远处的“近日点”或“远日点”。所以这里其实跟四维空间中的那种三次方反比的不稳定轨道很像。注意虽然图中红、橙、绿色的轨道在庞加莱圆盘模型中看起来都是趋于无穷远中心天体，但其实绿色轨道是是个极限圆，行星始终保持距无穷远中心天体不变做“均速极限圆周”运动，而红色与橙色轨道才是真正的由于行星初速不够而持续向极限圆中心坠落的轨道，行星可以沿这些轨道在有限的时间内疯狂加速到达无穷远中心天体处！虽然这里只是讨论双曲空间中的牛顿力学，但这非常像物体掉进黑洞后可以在有限时间内到达奇点。

最先我以为无穷远中心天体引力场中的行星轨道就都是这个规律，后来我在尝试计算行星在极限球星球内部的理论轨道时发现结果很奇怪，发现有东西不对：不同维度中的引力公式都是距离的指数函数，只是系数不同——$n$维空间中的引力表达式为$\exp(nd)$。我最先错误认为这个系数对轨道形状没有影响，然而这个系数其实提出来是幂$(\exp(d))^n$，它对轨道形状及稳定性都是有影响的。二维双曲世界中轨道的计算结果发现行星的运动居然有周期性！我认为它跟三维空间情况的区别主要是二维空间轨道有进动，导致“近日点”与“远日点”不再位于圆形轨道的两端，这样当圆趋于无穷变极限圆后“近日点”与“远日点”都将在有限的位置，并且在极限圆上出现了无穷个“近日点”与“远日点”！我们可以看到这个“近日点”与“远日点”在极限圆上出现的周期随着初速度的提高而减小，且有个极限周期（对应刚好略低于逃逸速度的轨道，如图中的紫色轨道）
可能你觉得看不出上面的轨道有周期性，我这里做一段沿极限圆做理想旋转的动画：

如果空间维数是四维，则轨道会变得不稳定。它跟刚才三维说的区别是轨道的发散和收敛会更快，对极限圆轨道的初始速度精确性更敏感，这里就不放图了。

行星位于极限球星球内部

还有一种一种情况只在数学上有意义：行星在极限球星球内部受到大小恒定的指向球心的引力。虽然实际上行星不可能在另一个星体内部运行，但我们也可以来探究一下行星轨道的稳定性：

它跟二维极限球星球外部轨道很像，但由于引力至为常数不衰减，所以行星逃逸速度为无穷大。当速度接近无穷时（图中粉色轨道），它的轨迹接近自由运动的测地线，到了很远的地方后，测地线的方向将与指向极限圆中心的方向相反，引力可以一直慢慢做负功，直到让行星掉头重新掉回来！注意初速度大于极限圆轨道的这些轨道的“近日点”处永远切于极限圆轨道，而小于极限圆轨道初速的轨道则是“远日点”均切于极限圆轨道。

行星环绕空壳无限大平面星球

最后还可以计算空壳无限大平面（测地面）星球外部引力场中的轨道。（注：这种无限大星球外部与半空间星球外部引力相同，但其内部引力有限，是可以存在的）绕它的行星的“正圆”轨道此时已经变成了等距曲线。若行星初速度变化一些，它在不同维度中的轨道稳定性如何呢？这个计算量其实相对于极限圆还小一些，但这里同样隐藏计算过程，想看推导请点击此链接展开。

还是考虑单位双叶双曲面模型$z^2=1+x^2+y^2$，无限大星球表面是双曲面与xz平面相交的测地线，设$x>0$的那一半是行星位于
天空，另一半是地面，行星位于$(x,y,\sqrt{1+x^2+y^2})$，则：

• 要求行星距地面的高度，就需要做出过行星平行于地面的等距曲线。上篇文章说过，等距曲线为不过原点的平面截双曲线得到，且平行于它的轴所在的平面，因此等距线所在平面就是垂直于y轴的截距为行星坐标$y$值的平面。很明显行星的高度为$d=\mathrm{arcsinh}(y)$。
• 要求引力的方向$\tau$，就需要做出过行星垂直于地面的测地线。很明显该测地线所在平面的方程可设为$k_1 z=k_2 x$。仿照前面极限圆的做法，联立双曲面方程后隐函数求导得到引力方向的x与y分量的比值：$$k_1 {x+y y’\over z}=k_2$$将行星坐标代入替换掉$k_1,k_2$，化简得到：$$xy \mathrm{d}y = (1+y^2) \mathrm{d}x$$最后再通过该方向是单位切线以及与位置向量的正交性解出所有分量值，我们关心的前两个分量为：$$\tau_x=-{xy\over\sqrt{1+y^2}}$$$$\tau_y=-\sqrt{1+y^2}$$
• 最后加上曲率修正项写出运动学方程：
  $$\ddot x=v^2(x,y,\dot x,\dot y)x+{G\tau_x(x,y)\over \cosh^2(d)}$$$$\ddot y=v^2(x,y,\dot x,\dot y)y+{G\tau_y(x,y)\over \cosh^2(d)}$$

由于地面不再有曲率，所以所有初速小于第一宇宙速度的行星全都会坠落，等于第一宇宙速度沿等距曲线运行保持高度不变，大于第一宇宙速度的若维数为三则会逃逸，二维情况则分两种情况，它还有个第二宇宙速度，大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度的行星高度上升一段距离（到了“远日点”）后会下降，但不会坠落地面，而大于第二宇宙速度的才会完全逃逸。

不要从上面图中看起来以为二维空间大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度的行星会爬升一次后就直接慢慢下降趋于固定高度了，其实在很远的地方它的轨道又会升上去，它也是周期的！这很好理解，毕竟从很远看空壳无限大平面星球跟看无穷远处的点状天体是一样的。但跟无穷远中心天体情况不同的是，无限大平面星球上空小于第一宇宙速度的行星就不会有周期了，它一定逃脱不了坠落地面的命运。下图为将庞加莱圆盘向右平移的动画以看清远处的轨道：

脑洞：考虑相对论的双曲世界

之前的文章已经介绍了德西特/反德西特时空，它代表忽略引力的球面/双曲世界的时空几何，考虑相对论后物体运动不再有额外潮汐力，因为我们已经分析过该空间的各向同性，无法找到特殊的参考系。值得注意的是该空间本身平行的类时测地线会有靠近的趋势，所以无论物体相对观察者运动与否，物体内部均会承受一个恒为正的压力来维持其体积而不至于坍缩至一个点。

最后我有些胡乱的想法，（原谅我确实对广相内容不熟悉，欢迎专业人士指正）广义相对论框架中能允许极限圆、半平面这样的无限大星球存在吗？我对广义相对论的具体计算不太熟悉，但我设想或许在无穷远处存在一个黑洞的奇点，它的视界是极限圆？或者由于距离无限远，实际无法达到奇点，或许甚至能够在满足宇宙监督假设的情况下存在位于无穷远处的裸奇点？这些描述是否正确都是个问题，因为反德西特空间的无穷远处如果有了黑洞，那么它就不再应该是常曲率的反德西特空间，不像施瓦西黑洞的时空是渐进平直的，无穷远处的黑洞让“渐进反德西特的”也失去了意义……